2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1讲学案：第三章 3．4　导数在实际生活中的应用

3.4导数在实际生活中的应用 1．导数在实际生活中有着广泛的应用．如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可以用导数来解决． 2．利用导数解决优化问题的流程： 解决生活中的优化问题的思路： (1)审题：阅读理解文字表达的题意、分清条件和结论． (2)建模：利用数学知识建立相应的数学模型． (3)解模：把数学问题转化为函数求解． (4)检验． 面积、容积的最值 [例1]　用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ [思路点拨]　设出所截正方形的边长为x，则该容器的底面边长和高均可用x表示，得到容积关于x的函数，用导数法求解． [精解详析]　设容器的高为x cm， 容器的体积为V(x) cm3. 则V(x)＝x(90－2x)(48－2x) ＝4x3－276x2＋4 320x(0<x<24)． V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360) ＝12(x－10)(x－36)(0<x<24)． 令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)． 当0<x<10时，V′(x)>0，V(x)是增函数； 当10<x<24时，V′(x)<0，V(x)是减函数． 因此，在定义域(0,24)内函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19 600(cm3)． 即当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3. [一点通]　解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积、容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．如果在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点也是最值点． 1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________cm. 解析：设该漏斗的高为x cm， 则底面半径为 cm，其体积为 V＝π(400－3x2)． π(400x－x3)(0<x<20)，则V′＝πx(202－x2)＝ 令V′＝0，解得x1＝(舍去)． ，x2＝－ 当0<x<时，V′>0； 当<x<20时，V′<0， 所以当x＝时，V取得最大值． 答案： 2