2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1讲学案：第三章 3．1　导数的概念

3．1导数的概念 3．1.1　平均变化率 某病人吃完退烧药，他的体温变化如下： x(min) 0 10 20 30 40 50 60 y(℃) 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.8 问题1：试比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温变化情况，哪段时间体温变化较快？ 提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正、可负、可为零． 1．平均变化率 一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为. 2．平均变化率与曲线变化关系 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． 对平均变化率的理解 (1)由平均变化率的定义知，平均变化率可正、可负、可为零． (2)平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． 求平均变化率 [例1]　已知函数f(x)＝2x2＋1. (1)求函数f(x)在区间[1,1.1]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率． [思路点拨]　直接利用平均变化率的定义求解即可． [精解详析]　(1)＝4.2. ＝＝ (2)＝8.02. ＝＝＝ [一点通]　求函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的步骤： 第一步：求x2－x1； 第二步：求f(x2)－f(x1)； 第三步：由定义得出. 1．求函数y＝sin x在0到之间的平均变化率． 到之间和 解：在0到； ＝之间的平均变化率为 在.＝之间的平均变化率为到 2.如图是函数y＝f(x)的图像，则：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为. ＝＝ (2)由函数f(x)的图像知， f(x)＝. ＝＝所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 答案：(1)　(2) 平均变化率的应用 [例2]　已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3. (1)求半径r关于体积V的函数r(V)； (2)比较体积V从0 L增加到1 L