2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1讲学案：第二章 2．5　圆锥曲线的共同性质

2.5圆锥曲线的共同性质 圆锥曲线的共同性质 抛物线可以看成平面内到定点(焦点)F的距离与定直线(准线)l的比值等于1(离心率)的动点的轨迹． 问题1：当比值大于0小于1时轨迹是什么？ 提示：椭圆． 问题2：当比值大于1时轨迹是什么？ 提示：双曲线． 圆锥曲线的共同定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹． 当0＜e＜1时，它表示椭圆； 当e＞1时，它表示双曲线； 当e＝1时，它表示抛物线． 其中e是离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线. 圆锥曲线的准线 在圆锥曲线的定义中，定点F是焦点，定直线l是准线，而且知道抛物线只有一个焦点和一条准线． 问题：椭圆和双曲线有几个焦点、几条准线？ 提示：椭圆和双曲线有两个焦点、两条准线． 椭圆、双曲线和抛物线的准线方程 曲线方程 准线方程 曲线方程 准线方程 ＝＋ 1(a＞b＞0) x＝± ＝1＋ (a＞b＞0) y＝± ＝1－ (a＞0，b＞0) x＝± ＝1－ (a＞0，b＞0) y＝± y2＝2px (p＞0) x＝－ x2＝2py (p＞0) y＝－ y2＝－2px (p＞0) x＝ x2＝－2py (p＞0) y＝ 1．关于圆锥曲线共同特征的认识 (1)从点的集合(或轨迹)的观点来看：它们都是平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数e的点的集合(或轨迹)，只是当0<e<1时为椭圆，当e＝1时为抛物线，当e>1时为双曲线． (2)从曲线形状的生成过程来看：圆锥曲线可看成不同的平面截圆锥面所得到的截面的周界，因此，椭圆(包括圆)、抛物线、双曲线又统称为圆锥曲线． 2．圆锥曲线共同特征的应用 设F为圆锥曲线的焦点，A为曲线上任意一点，d为点A到定直线的距离，由.由这个变形可以实现由AF到d的转化，借助d则可以解决一些最值问题． ＝e变形可得d＝ 利用圆锥曲线的定义求轨迹 [例1]　已知动点M(x，y)到点F(2,0)与到定直线x＝8的距离之比为，求点M的轨迹． [思路点拨]　该题有两种解法，一种是利用直译法直接代入化简，另一种是用圆锥曲线的统一定义来求． [精解详析]　法一：由题意得， ＝ 整理得＝1. ＋ 法二：由圆锥曲线的统一定义知，M点的轨迹是一椭圆．c＝2，，与已知条件相符， ＝＝8，则a