高二数学竞赛班一试讲义--平面向量与空间向量--6

高二数学竞赛班一试讲义

第6讲   平面向量与空间向量

 

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一、知识要点：

1.叫做在方向上的投影； 叫做在方向上的投影。

·的几何意义：数量积·等于的长度与在方向上的投影 的乘积

2.向量处理方法：（建系、几何、取基底）

3.向量的插点：

4.三点共线

5.点是内任一点，则有：

点在外时，面积有正负，则等式仍成立

6.可以进行合情推理，空间中也有

点是四面体内任一点，则有：

7.内各种心的向量关系

利用第5点结论有：

1）是重心：

2）是内心：

3）是外心：，

另有，，

4）是垂心：，

二、例题精析

例1．已知平面向量满足，且与的夹角为120°，

      求的取值范围。

 

 

 

 

 

 

 

 

例2．已知是锐角的外心，，，若，

     且，则=          ．

 

 

 

 

 

 

例3．在△ABC中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上．若△ABC的面积为2，

     则的最小值是_____．

 

 

 

 

 

 

 

例4．(1)已知是棱长为的正方体内切球的直径，是该正方体表面上一点，

         则的最大值为           ．

      (2)若满足，，且，

         则的取值范围是           ．

 

 

 

 

例5．(1)在中，，是的中点．若，

      则      ．

 

      (2)在正中，已知，则与的夹角是__________

 

 

 

 

 

 

例6．已知直线与抛物线交于两点，为的中点，为抛物线上一个动点，若满足，则下列一定成立的是         （    ）

A.                B. 其中是抛物线过的切线

C.                 D.

 

 

 

 

例7．已知椭圆：的左焦点为，过作动直线与椭圆交于两点，点在椭圆上运动，为坐标原点，若点满足，则称点为“好点”，则椭圆上“好点”的个数有                                          （    ）

（A）0个        （B）1个        （C）2个       （D）3个

 

 

三、精选习题

1．已知非零向量满足，且, 则△ABC为(  )

    A.三边均不相等的三角形   B.直角三角形   C.等腰非等边三角形   D.等边三角形

2．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的

   最大值是                                                          （    ）

    A．   B．     C．        D．

3．已知△ABC平面内一点O满足, 则O一定

   为△ABC的                                                          (    )

A．外心         B．内心           C．重心             D．垂心

4．若非零向量满足，则                                   （　  ）

  Ａ．   Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．

5．已知向量，，，。则的最小值为                                             （    ）

（A）     （B）     （C）      （D）

6．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB//CD，AD＝CD＝1，AB＝3，动点P在△BCD内运动(包含边界)，设，则的取值范围是         (    )

   A. [1，]      B. [，]     C. [，]       D. [1，]

7．已知向量满足，，则的最小值为(   )

 A．        B．       C．          D．

8．设是边上一定点，满足，且对于边上任一点，

   恒有。则                                         （    ）

A.   B.         C.          D.

9．已知向量，，,则是（   ）

A． B． C．  D．

10．在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则       

11．在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上且

，则            ．

12．在△ABC中，若，则