数列型不等式放缩技巧九法

数列型不等式的放缩技巧九法 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种： 一 利用重要不等式放缩 1． 均值不等式法 例1 设 求证 解析 此数列的通项为 ， ， 即 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 ，若放成 则得 ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中， 等的各式及其变式公式均可供选用。 例2 已知函数 ，若 ，且 在[0，1]上的最小值为 ，求证： （02年全国联赛山东预赛题） 简析 例3 求证 . 简析 不等式左边 EMBED Equation.3 = ，故原结论成立. 2．利用有用结论 例4 求证 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质 可得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 即 法2 利用贝努利不等式 的一个特例 (此处 )得 EMBED Equation.3 注：例4是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是： 证明 (可考虑用贝努利不等式 的特例) 例5 已知函数 求证： 对任意 且 恒成立。（90年全国卷压轴题） 简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（ ）不等式 的简捷证法： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 而由 不等式得 EMBED Equation.3 ( 时取等号) EMBED Equation.3 （ ），得证！ 例6 已知 EMBED Equation.3 用数