高二数学竞赛班二试数论讲义-进位制-9

高二数学竞赛班二试讲义

第9讲   进位制

 

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一、知识要点：

1．进位制

进制数，一般地，若是一个大于1的整数，那么以为基数的进制数可以表示成为一串数字连写在一起的形式

，，…，，．

 

二、例题精析

例1．（1）记集合，，将中

   的元素按从大到小的顺序排列，则第2008个数是（    ）

  A．          B．         C．          D．

 （2）设是递增的正整数数列：，它们或者是的幂，或者是的不同的幂之和，则         。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例2．设是的十进制表示的各位数字之积，求成立的正整数。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例3．（1990.第32届IMO备选题）证明：对任意自然数，二项式系数中，奇数的个数是的幂。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例4．（99年LS）(满分50分)给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，3，…，n克的所有物品。

（1）求k的最小值f(n)；

（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三、精选习题

1．设有集合，把中各数按照从大到小的顺序排列，求第个数。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2．正整数的进制表示是，求最小的正整数，使得是某一个整数的四次方。