高二数学竞赛班二试数论讲义-进位制-9

高二数学竞赛班二试讲义 第9讲 进位制 班级 姓名 一、知识要点： 1．进位制 进制数，一般地，若 是一个大于1的整数，那么以 为基数的 进制数可以表示成为一串数字连写在一起的形式 EMBED Equation.DSMT4 ， ，…， ， ． 二、例题精析 例1．（1）记集合 ， ，将 中 的元素按从大到小的顺序排列，则第2008个数是（ ） A． B． C． D． （2）设 是递增的正整数数列： ，它们或者是 的幂，或者是 的不同的幂之和，则 。 例2．设 是 的十进制表示的各位数字之积，求 成立的正整数 。 例3．（1990.第32届IMO备选题）证明：对任意自然数 ，二项式系数 中，奇数的个数是 的幂。 例4．（99年LS）(满分50分)给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，3，…，n克的所有物品。 （1）求k的最小值f(n)； （2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。 三、精选习题 1．设有集合 ，把 中各数按照从大到小的顺序排列，求第 个数。 2．正整数 的 进制表示是 ，求最小的正整数 ，使得 是某一个整数的四次方。 3．（2012东南赛）如果非负整数 及其各位数字之和均为6的倍数，则称 为“六合数”．求小于2012的非负整数中“六合数”的个数．（陶平生提供） 4．（东南赛）对于正整数 ，令 ．求证：数列 中 有无穷多个奇数和无穷多个偶数．([x]表示不超过x的最大整数) (冯祖鸣供题) 高二数学竞赛班二试讲义 第9讲 进位制 例1．（1）B 提示： 中最大的元素是 ，按从大到小的顺序排列，第2008个数是 （2） 提示： ， ，而 ， 与 对应 所以 ， 例2．易知 不是一位数 设 ，则 ，故有 ， 于是 ，得 ，这时通过验证仅有 满足要求。 例3．将 用二进制表示，有 ， 于是 因为当 时， ， 中2的因数个数为 所以 为偶数 所以 ， 因此 右边多项式恰含 个项，它们的系数为1（奇数)。即 的展开式中恰有 项系数 为奇数。故结论成立。 例4．（1）解：设这k块砝码的质量数分别为a1,a2,…,ak