高二数学竞赛班一试讲义--函数迭代与函数方程--4

高二数学竞赛班一试讲义

第4讲   函数迭代与函数方程

 

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一、知识要点：

1．函数迭代：对于函数，

   令，我

    们将称为函数的次迭代。

    思考：设，则，，，转化为数列递推。

2．函数方程：将含有未知函数的等式称为函数方程.

3．柯西方法解函数方程的步骤是：先求出对于自变量取所有自然数时函数方程的解具有的

   形式，然后依次证明对自变量取整数值、有理数值以及实数值时函数方程的解仍具有这

   种形式，从而得到函数方程的解。这种思维又叫“爬坡式推理”。

   定理（柯西函数方程的解）

若是单调连续函数且满足，则

证明：由题设不难得

   取，得

   令，则，解得--------- （1）

   令，则

   令，则，得--------- (2)

   令，由，得

---------(3)

由上述（1），（2），（3）知：对任意有理数均有。

另一方面，对于任意的无理数，因连续，取以为极限的有理数序列，则有：

综上所述，对于任意实数，有

4．递推法函数方程.

二、例题精析

例1．设，且              

      求.（第32届美国普特南数学竞赛题）

 

 

 

例2．（1）设，令，求的表达式．

     （2）设，令，求的表达式．

 

 

 

例3．用柯西方程解下列（单调连续）函数方程：

     （1），；

     （2），；

     （3），且。

 

 

 

 

 

 

 

例4．求所有的正实数对，使得函数满足：对任意实数，有

     。（2013年高中数学联赛）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例5．设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：

①对于，总有，且，；

②对于，若，则．

证明：（1）（）；

     （2）时，．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三、精选习题

1．设满足则的值域是            ．

2．已知函数满足：，，

   则____________.

3．设，而，．记，则           ．

4．设，记，则           ．

5. 设，记，则           ．

6．已知为一次函数，且，则           ．

7．用柯西方程解函数方程

（1），求；

（2）求.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8．已知函数。若对于任意，有恒成立，求实数的

   取值范围。