高二数学竞赛班一试讲义--函数迭代与函数方程--4

高二数学竞赛班一试讲义 第4讲 函数迭代与函数方程 班级 姓名 一、知识要点： 1．函数迭代：对于函数 ， 令 EMBED Equation.3 ，我 们将 称为函数 的 次迭代。 思考：设 ，则 ， ， ，转化为数列递推。 2．函数方程：将含有未知函数的等式称为函数方程. 3．柯西方法解函数方程的步骤是：先求出对于自变量取所有自然数时函数方程的解具有的 形式，然后依次证明对自变量取整数值、有理数值以及实数值时函数方程的解仍具有这 种形式，从而得到函数方程的解。这种思维又叫“爬坡式推理”。 定理（柯西函数方程的解） 若 是单调连续函数且满足 EMBED Equation.KSEE3 ，则 证明：由题设不难得 取 ，得 EMBED Equation.KSEE3 令 ，则 ，解得 --------- （1） 令 ，则 令 EMBED Equation.KSEE3 ，则 ，得 --------- (2) 令 EMBED Equation.KSEE3 ，由 ，得 ---------(3) 由上述（1），（2），（3）知：对任意有理数 均有 。 另一方面，对于任意的无理数 ，因 连续，取以 为极限的有理数序列 ，则有： 综上所述，对于任意实数 ，有 4．递推法函数方程. 二、例题精析 例1．设 ，且 求 .（第32届美国普特南数学竞赛题） 例2．（1）设 ，令 ，求 的表达式． （2）设 ，令 ，求 的表达式． 例3．用柯西方程解下列（单调连续）函数方程： （1） ， ； （2） ， ； （3） ，且 。 例4．求所有的正实数对 ，使得函数 满足：对任意实数 ，有 。（2013年高中数学联赛） 例5．设定义在[0，2]上的函数 满足下列条件： ①对于 ，总有 ，且 ， ； ②对于 ，若 ，则 ． 证明：（1） （ ）； （2） 时， ． 三、精选习题 1．设 满足 则 的值域是 ． 2．已知函数满足：，， 则 ____________. 3．设 ，而 ， ．记 ，则 ． 4．设 ，记 ，