高二数学竞赛班一试讲义--数列不等式--2
高二数学竞赛班一试讲义
第2讲 数列求和与数列不等式
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一、知识要点：
1．公式法：适用于等差、等比数列求和或可转化为等差、等比数列求和的数列．
2．错位相减法：若
是等差数列，
是等比数列，则求数列
的前
项和
，常用错位相减法。
3．分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；
4．裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项。
5．倒序相加法：类似于等差数列前项和公式的推导方法．
6．并项求和法：把数列的连续若干项并在一起组成一项，再求这些大项的和
7．数列求和不等式的证明方法：均值不等式法，利用有用结论，部分项放缩，添减项放缩，利用单调性放缩，换元放缩，递推放缩，转化为加强命题放缩，分奇偶项讨论，数学归纳法。
二、例题精析
例1．（1）已知数列
的通项公式
，求数列的前项的和。
（2）已知数列的通项公式
，求数列的前项的和。
例2．数列数列：
即正整数
有个，自小到大排列而成，
求
及．
例3．设
，定义
，求证：对一切正整数有
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例4．（1）已知
，
，求证：
。
（2）已知函数
，若
，且
在[0，1]上的最小值为
，
求证：
（02年全国联赛山东预赛题）
例5．在数列
中，已知
，求证：
（1）
； （2）
。
例6．（1）求证
（2）设
求证：
例7．已知数列
的前
项和
满足
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的整数
，有
（04年全国卷Ⅲ）
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三、精选习题
1．已知两个等差数列和
的前项和分别为
和
，且
，则这两个
数列的第九项之比
．
2．求和：
。
3．设数列满足
，
，求证：
。
4．（07年高赛一试）设
，求证：当正整数
时，
．
5．设数列
满足
，当
时证明对所有
有
； 
（02年全国高考题）
6．已知
（1）用数学归纳法证明
；（2）对
对
都成立，证明
（无理数
）（05年辽宁卷第22题）
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