高二数学竞赛班一试讲义--数列不等式--2

高二数学竞赛班一试讲义 第2讲 数列求和与数列不等式 班级 姓名 一、知识要点： 1．公式法：适用于等差、等比数列求和或可转化为等差、等比数列求和的数列． 2．错位相减法：若 是等差数列， 是等比数列，则求数列 的前 项和 ，常用错位相减法。 3．分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列； 4．裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项。 5．倒序相加法：类似于等差数列前 项和公式的推导方法． 6．并项求和法：把数列的连续若干项并在一起组成一项，再求这些大项的和 7．数列求和不等式的证明方法：均值不等式法，利用有用结论，部分项放缩，添减项放缩，利用单调性放缩，换元放缩，递推放缩，转化为加强命题放缩，分奇偶项讨论，数学归纳法。 二、例题精析 例1．（1）已知数列 的通项公式 ，求数列 的前 项的和 。 （2）已知数列 的通项公式 ，求数列 的前 项的和 。 例2．数列数列 ： 即正整数 有 个，自小到大排列而成， 求 及 ． 例3．设 ，定义 ，求证：对一切正整数 有 例4．（1）已知 ， ，求证： 。 （2）已知函数 ，若 ，且 在[0，1]上的最小值为 ， 求证： （02年全国联赛山东预赛题） 例5．在数列 中，已知 ，求证： （1） ； （2） 。 例6．（1）求证 （2）设 EMBED Equation.3 求证： 例7．已知数列 的前 项和 满足 （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的整数 ，有 （04年全国卷Ⅲ） 三、精选习题 1．已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则这两个 数列的第九项之比 ． 2．求和： 。 3．设数列 满足 ， EMBED Equation.DSMT4 ，求证： 。 4．（07年高赛一试）设 ，求证：当正整数 时， ． 5．设数列 满足 ，当 时证明对所有 有 ； （02年全国高考题） 6．已知 （1）用数学归纳法证明 ；（2）对 对 都成立，证明 （无理数 ）（05年辽宁卷第22题） 7．设数列 满足 ，证明： 。 8．设 ， ， ， 求证： 9．在数列