高二数学竞赛班一试讲义--数列和与通项--1

高二数学竞赛班一试讲义 第1讲 递推数列求通项 班级 姓名 一、知识要点： 1．累加法，累乘法，待定系数法，取倒数法，取对数法，数学归纳法， 与 转化法。 较难的求通项方法： 1．除 法： 由形如 的递推式求通项，可两边同除以 转化为形如 的递推式。 2．不动点法： 形如 的分式递推式：记特征函数 的不动点为 ，当 时， 成等差数列；当 时， 成等比数列。 3．特征根法： 在 给出的递推式中，记特征方程 的两根为 ， 当 时， ， ； 当 时， ， 。 4．换元法（根号换元，三角换元） 5．双数列递推、周期数列等。 二、例题精析 例1．（1）已知数列 满足 ， ，求 。 （2）已知 ， ，求 。 （3）已知数列 中， ， ，求 。 （4）已知 ， ，求 。 （5）已知 ， ，求 。 例2．（1）已知数列 满足： ， ，求通项 。 （2）已知数列 满足： ， ，求通项 。 例3．（1）已知数列 满足： ， ，求通项 。 （2）已知数列 满足： ， ，求通项 。 例4．（1）数列 中， ，求数列 的通项公式 。 （2）数列 中， ，求数列 的通项公式 。 例5．（1）数列 中， ， ，试求 （2）设 ， EMBED Equation.DSMT4 ，求 并证明 。 例6．数列 中， ，数列 中， 。当 时， ， ，求 和 。 三、精选习题 1．已知数列 满足 ， ，则 ． 2．数列 中， ， ，则通项 。． 3．已知数列满足 ， ，则 = ． 4．已知数列 中， ， ，你有多少种方法求 ？ 5．已知数列 满足： ， ，求通项 。 6．数列 满足 ，求数列 的通项公式 。 7．已知数列 满足 ，其中 是给定的正实数，求此数列的通项。 8．已知数列 ． HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.3 N ， R且 满足： （1）求数列 的通项公式； （2）若 的大小．（2011年高中联赛） 与 ，试比较 高二数学竞赛讲义 数列和与通项 1 参考答案 一、例题分析 例2．（1）设 ， 为常数， 用待定系数法求得 ， 所以 ，故 成等比数列， 所以 。 （2）两边同除以 ， ，累加得 例3．（1）解