高二数学竞赛班二试数论讲义-整数的性质-5

高二数学竞赛班二试讲义 第5讲 整数的性质 班级 姓名 一、知识点金 一、整数的性质 1．两个连续整数之间不再有其他整数，两个连续整数的完全平方数之间不存在完全平方数； 2．若 ， ， ，则 。 3． 个连续整数的乘积一定能被 整除。 4．设 是自然数，在十进制中的 位数可表示为 ， （1）若 ，则 。 （2）若 ，则 。 （3）若 ，则 。 （4）若 ，则 。 （5）若 ，则 。 （6）若 ，则 。 5．算术基本定理：任何一个正整数 ，都可以唯一分解成素因数乘积的形式， 其中 。 均为素数， 为非负整数。 6．设 ， 均为素数， 为非负整数。 的最大公约数 ， 的最小公倍数 ， 二、例题分析 例1．设 是正整数， ，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商为 ，求 和 。 例2．求证：如果 和 都是大于 的素数，那么 是 的因数。 例3．已知存在 ，使 ，又 ， ，求证： 例4．由数码 能组成若干个没有重复数字的七位数，其中有 的倍数，试在 的倍数的七位数中求出最大的和最小的数。 三、同步检测 1． 的正整数解 的组数为（ ） A． 组 B． 组 C． 组 D． 组 2．若 为质数， 也为质数，则 等于 。 3．设 是给定的奇质数，若正整数 使得 也是一个正整数，则， 。 4．求证： 都是两个相邻的整数的积。 5．求证：集合 中的每个元素皆可表示为该集合中另两个元素的乘积。 6．若正整数 与 都是平方数，求该正整数 。 第5讲 整数的性质答案 二、例题分析 例1．设 的最大公约数为 ，令 ， ， 则 的最小公倍数为 ，则 ， 所以 或 或 所以 或 或 ，得 或 或 ， 所以 或 所以 或 。 例2．因为 和 都是大于 的素数，故 是偶数，即 ，又 除以 的余数各不相同，而 和 都是大于 的素数，所以 和 都不能被 整除，所以 能被 整除，即 ，所以 ，于是 是 的因数。 例3．由十进制记数法 因为 ，所以 而 由 ，所以 ， 则 故 ，即 例4．设七位数为 ，且 ， 均取0到6的任意数码。则 。① 能被55整除的七位数必定同时能被11和5整除，于是有 。 由①得， ，则 ，即 ② 由①②知， 中一个是 ，另一个是