高二数学竞赛班二试数论讲义-整数的性质-5

高二数学竞赛班二试讲义

第5讲  整数的性质

 

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一、知识点金

一、整数的性质

1．两个连续整数之间不再有其他整数，两个连续整数的完全平方数之间不存在完全平方数；

2．若，，，则。

3．个连续整数的乘积一定能被整除。

4．设是自然数，在十进制中的位数可表示为

，

（1）若，则。

（2）若，则。

（3）若，则。

（4）若，则。

（5）若，则。

（6）若，则。

5．算术基本定理：任何一个正整数，都可以唯一分解成素因数乘积的形式，

其中。均为素数，为非负整数。

6．设，均为素数，为非负整数。

的最大公约数，

的最小公倍数，

二、例题分析

例1．设是正整数，，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商为，求和。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例2．求证：如果和都是大于的素数，那么是的因数。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例3．已知存在，使，又，

，求证：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例4．由数码能组成若干个没有重复数字的七位数，其中有的倍数，试在的倍数的七位数中求出最大的和最小的数。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三、同步检测

1．的正整数解的组数为（     ）

A．组        B．组        C．组        D．组

2．若为质数，也为质数，则等于         。

3．设是给定的奇质数，若正整数使得也是一个正整数，则，         。

4．求证：都是两个相邻的整数的积。