高二数学竞赛班二试数论讲义-裴蜀恒等式3

高二数学竞赛班二试讲义

第3讲  裴蜀恒等式

 

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一、知识点金

1．欧几里得除法：设为整数，，按下述方式反复作带余除法，有限步之后必然停止（即余数为零）：

用除：

用除：

用除：

……

用除：

用除：

用除：

则

  实际上，由于余数为整数，且满足，从而上述的带余除法有限步后余数必为零。因此

 给定， 欧几里得除法不仅能（在有限步内）求出，还可以证明方程

     ①

有一组整数解，并能实际地求出一组解。具体的做法是将欧几里得除法倒推回去：

，，…，，，

依次消去，得到一组整数，使得。

2．互素的充分必要条件是，存在整数，使得   ②

等式②称为（互素整数的）裴蜀恒等式。

3．若互素，且，则。

4．若是素数，且，则至少有一个，使得

5．若两两互素，且，，则。

6．设，则

二、例题分析

例1． 记。证明：若，则

 

 

 

 

 

 

 

 

例2．设是奇数，证明：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例3．（1）设是正整数，证明：。

（2）设是正整数，证明：。

     （3）记。证明：对，有。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例4．设都是正整数，。证明：