高二数学竞赛班二试数论讲义-裴蜀恒等式3

高二数学竞赛班二试讲义 第3讲 裴蜀恒等式 班级 姓名 一、知识点金 1．欧几里得除法：设 为整数， ，按下述方式反复作带余除法，有限步之后必然停止（即余数为零）： 用 除 ： 用 除 ： 用 除 ： …… 用 除 ： 用 除 ： 用 除 ： 则 实际上，由于余数 为整数，且满足 ，从而上述的带余除法有限步后余数必为零。因此 给定 ， 欧几里得除法不仅能（在有限步内）求出 ，还可以证明方程 ① 有一组整数解 ，并能实际地求出一组解。具体的做法是将欧几里得除法倒推回去： ， ，…， ， ， 依次消去 ，得到一组整数 ，使得 。 2． 互素的充分必要条件是，存在整数 ，使得 ② 等式②称为（互素整数的）裴蜀恒等式。 3．若 互素，且 ，则 。 4．若 是素数，且 ，则至少有一个 ，使得 EMBED Equation.DSMT4 5．若 两两互素，且 ， ，则 。 6．设 ，则 二、例题分析 例1． 记 。证明：若 ，则 例2．设 是奇数，证明： 例3．（1）设 是正整数，证明： 。 （2）设 是正整数，证明： 。 （3）记 。证明：对 ，有 。 例4．设 都是正整数， 。证明： 三、同步检测 1．设 是整数，证明： 2．设 都是正整数， 被 整除，证明： 3．设 是正整数，且 是整数。证明： 。 4．设 是正整数， 是奇数。证明： 5．求证：若正整数 使得 ，则 是完全平方数。 高二数学竞赛班二试讲义 第3讲 裴蜀恒等式 例1． 法1： ，所以 又 ，所以 ， 所以 ，则 法2： ，所以 注： 称为梅森数， 称为费尔马数。 例2．对 ， 并不总成立。 论证的诀窍是将和 作配对变形。 对 ，因 为奇数，故 ， 从而 是 的倍数，进而它们的和也是 的倍数。 例3．（1） ，所以 （2）设 ，则 ， 由 ，可推得 ， 所以 ，所以 ，故 （3） EMBED Equation.DSMT4 ，则 设 ，所以 ，所以 或 。但 显然是奇数，故 例4．我们对指数作欧氏除法。 重复上述论证， EMBED Equation.DSMT4 三、同步检测 1． ，有裴蜀恒等式知 2． ，所以 ， 因为 ，所以 ， 3．设 ，则 ， ，所以 所以 ， 4．设 ， 为奇数， ， ，由二项式定理知