高二数学竞赛班二试函数与多项式讲义-多项式的运算与整除1

高二数学竞赛班二试讲义 第1讲 多项式的运算与整除 班级 姓名 一、知识点金 1．设 是非负整数，表达式 ，其中 （ 可以是复数集 ，实数集 ，有理数集 ，整数集 ），称作系数为 的一元多项式。这样的一元多项式的集合记作 。 为 次项的系数，若 ，则 为多项式的首项， 为首项系数， 为多项式的次数，记作 。若 与 中同次项的系数相等，则 。 2． 中的多项式可作加、减、乘运算。设 ， ，则 3．带余除法：设 ，且 ，则存在 中多项式 与 ，使得 ，其中 或者为零，或者 ；并且商式 和余式 由这些条件唯一确定。 4．仿照数论中的带余除法可求得 的最大公因式 ，记作 。存在 ，使得 5．当 时，则称 与 互素。 裴蜀等式：若 与 互素，则存在 ，使得 。 6．设 ，且 不能分解为 上两个正次数多项式的积，则称 是 中不可约多项式，或在 上不可约；否则称 在 上可约。 7．唯一分解定理： 中任一个正次数的多项式 可分解为 中有限个首项系数为1的不可约多项式与 中常数之积。 8．若两个多项式 与 的同次幂的系数均关于模 同余，则称 和 对模 同余，或模 恒等，记作 。 9．设 是一个素数， ，则有 证明：因为 是一个素数，由费尔马小定理，有 ，则 ， 又 ，所以 ，又 ，所以 。 设 注：反复用 可得 二、例题分析 例1．将多项式 表示为两个次数不等的整系数多项式的平方差。 例1．解：设 ，则 由多项式相等的定义得出， ， 可解出 ，即 例2．求出所有满足 的实系数多项式 。 例2．解：设 ，其中 。我们证明 。假设 不全为0，设 是使 的最大下标，由 ，得 ，比较 的系数，得出 ，这与 ， 矛盾！因此上述的断言正确，即 ，又 ，则 ，所以 例3．设 是整数，证明：多项式 被 整除 例3．对 归纳，当 时结论显然成立。设结果在 时成立，即 整除 ，则（用归纳假设） EMBED Equation.KSEE3 被 整除。 即结论对 也成立。 例4．设 为正整数，证明： 例4． 例5．设 。求多项式 中 项的系数。 例5． 由多项式乘法的定义易知， 有三种方式产生：其一是上式右边一个因式中的 与其余因式的常数项相乘，这共产生了 个 ；其二右边一个因式中的 ，另一个因式中的 及其余因式的常数项相乘，这共产生 个 ；其三右边三