高二数学竞赛班二试函数与多项式讲义-多项式的运算与整除1

高二数学竞赛班二试讲义

第1讲  多项式的运算与整除

 

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一、知识点金

1．设是非负整数，表达式，其中（可以是复数集，实数集，有理数集，整数集），称作系数为的一元多项式。这样的一元多项式的集合记作。

为次项的系数，若，则为多项式的首项，为首项系数，为多项式的次数，记作。若与中同次项的系数相等，则。

2．中的多项式可作加、减、乘运算。设，，则

3．带余除法：设，且，则存在中多项式与，使得，其中或者为零，或者；并且商式和余式由这些条件唯一确定。

4．仿照数论中的带余除法可求得的最大公因式，记作

。存在，使得

5．当时，则称与互素。

裴蜀等式：若与互素，则存在，使得。

6．设，且不能分解为上两个正次数多项式的积，则称是中不可约多项式，或在上不可约；否则称在上可约。

7．唯一分解定理：中任一个正次数的多项式可分解为中有限个首项系数为1的不可约多项式与中常数之积。

8．若两个多项式与的同次幂的系数均关于模同余，则称和对模同余，或模恒等，记作。

9．设是一个素数，，则有

证明：因为是一个素数，由费尔马小定理，有，则，

又，所以，又，所以。

设

注：反复用可得

 

 

 

二、例题分析

例1．将多项式表示为两个次数不等的整系数多项式的平方差。

例1．解：设，则

由多项式相等的定义得出，，

可解出，即

例2．求出所有满足的实系数多项式。

例2．解：设，其中。我们证明

。假设不全为0，设是使的最大下标，由，得，比较的系数，得出，这与，矛盾！因此上述的断言正确，即，又，则，所以

例3．设是整数，证明：多项式被整除

例3．对归纳，当时结论显然成立。设结果在时成立，即整除

，则（用归纳假设）

被整除。

即结论对也成立。

例4．设为正整数，证明：

例4．

例5．设。求多项式中项的系数。

例5．

由多项式乘法的定义易知，有三种方式产生：其一是上式右边一个因式中的与其余因式的常数项相乘，这共产生了个；其二右边一个因式中的，另一个因式中的及其余因式的常数项相乘，这共产生个；其三右边三个因式中的及其余因式的常数