人教版高一必修5第三章不等式专题含参数不等式恒成立与存在性问题教案含答案
专题-含参数不等式恒成立与存在性问题
由任意性和存在性条件求参数的取值范围问题，一直是高考数学考试的重点和难点。通过对近几年高考数学试题的研究，我们发现这类试题往往以压轴题的形式出现，所涉及的知识点内容覆盖面广，其中命题的核心在函数、方程、不等式等内容的交汇处。下面就对这类问题进行详细的归类、归法，构建知识体系，希望对同学们有所帮助。
一、在不等式恒成立的条件下，求参数的取值范围问题
在不等式恒成立条件下求参数的取值范围，一般原理是利用转化与化归思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，方法可采用“分离参数法”或“不分离参数法”直接移项构造辅助函数的形式.
类型1：对于一次函数
，则有：
（1）如果
；
（2）如果
.
例1、若不等式
对满足
的所有
都成立，求
的范围.
解：我们可以用改变主元的办法，将视为主元，原不等式化为：
，
令
，则时，
恒成立，所以只需
即
，所以的范围是
.
说明：在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数），而把另一个变量
看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。
类型2：设
，
（1）
上恒成立
；
（2）
上恒成立
.
例2、已知关于的不等式
对任意恒成立，求实数的取值范围.
解：当
时，原不等式化为
显然成立；
当
时，则需要满足条件：
；
综上，实数的取值范围是
.
类型3：设
（1）当
时，如果
上恒成立
；
当时，如果
上恒成立
.
（2）当
时，如果
上恒成立
；
当时，如果上恒成立
.
例3、若
时，不等式
恒成立，求的取值范围。
解：设
，则问题转化为当时，
的最小值非负。
（1） 当
即：
时，
，
又所以不存在；
（2） 当
即：
时，
，又，
（3） 当
即：
时，
，
又 
综上所得：
说明：在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。
类型4、若函数
在区间
上存在最小值
和最大值
，则:
①不等式
在区间上恒成立
；
②不等式
在区间上恒成立
；
③不等式
在区间上恒成立
；
④不等式
在区间上恒成立
；
例4、已知函数
，若对任意
恒有
，试确定的取值范围。
解：根据题意得：
在上恒成立，
即：
在上恒成立，
设
，则
当
时，
所以
.
说明：在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若
恒成立，只须求出
，则
；若
恒成立，只须求出
，则
，转化为函数求最值。
变式：已知
时，不等式
恒成立，求的取值范围。
解：令
，
所以原不等式可化为：
，
要使上式在
上恒成立，只须求出
在上的最小值即可。
说明：在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若
恒成立，只须求出
，则
，然后解不等式求出参数的取值范围；若
恒成立，只须求出
，则
，然后解不等式求出参数的取值范围，问题还是转化为函数求最值。
类型5、若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为
，则：
①不等式（或）在区间上恒成立
；
②不等式（或）在区间上恒成立
；
例5、当
时，
恒成立，求实数的取值范围。
解：因为
当
时，
，则问题转化为
，所以
；