2017-2018学年高中数学人教版选修1-1（课件+检测）:2.2 双曲线 （4份打包）

第二章　圆锥曲线与方程 2.2 双曲线 2．2.2　双曲线的简单几何性质 [学习目标]　1.了解双曲线的几何性质．　2.能运用双曲线的标准方程讨论它的几何性质，能确定双曲线的形状(重点、难点)． 3．进一步理解数形结合思想． [知识提炼·梳理] 1．双曲线的几何性质 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1 (a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 对称性 对称轴：x轴，y轴 对称中心：(0，0) 对称轴：x轴，y轴 对称中心：(0，0) 顶点 坐标 (－a，0)， (a，0) (0，a)， (0，－a) 性质 渐近线 y＝±eq \f(b,a)x y＝±eq \f(a,b)x 离心率 e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞) 2.等轴双曲线 实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x． [思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切(　　) (2)双曲线方程eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝0，即eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.(　　) (3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).(　　) 解析：(1)直线与双曲线交于一点，直线与双曲线相切或相交，不正确．(2)求双曲线的渐近线时，先将“λ”变成“0”，然后用因式分解即得渐近线方程，正确．(3)由等轴双曲线的定义得a＝b，c2＝a2＋b2＝2a2，所以 离心率e＝eq \r(2)，正确． 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．双曲线eq \f(x2,2)－eq \f(y2,14)＝1的离心率为(　　) A．2　　　　　 B．2eq \r(2) C．3 D．4 解析：由题意a＝eq \r(2)，c＝eq \r(2＋14)＝4， 所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,\r(2))＝2eq \r(2). 答案：B 3．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2eq \r(3)，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±2x C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \f(1,2)x 解析：由已知，得b＝1，c＝eq \r(3)，a＝eq \r(c2－b2)＝eq \r(2).因为双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(\r(2),2)x. 答案：C 4. 若双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，则b＝________． 解析：eq \f(x2,4)－eq \f(y 2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)bx.因为渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，故b＝1. 答案：1 5．若双曲线eq \f(y2,16)－eq \f(x2,m)＝1的离心率e＝2，则m＝______． 解析：由题意，知a2＝16，即a＝4.因为e＝2，所以c＝2a＝8，所以m＝c2－a2＝48. 答案： 48 类型1　双曲线的几何性质(自主研析) [典例1]　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． [自主解答]　将9y2－4x2＝－36变形为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1， 故a＝3，b＝2，c＝eq \r(13). 因此顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)， 焦点坐标为F1(－eq \r(13)，0)，F2(eq \r(13)，0)， 实轴长是2a＝6， 虚轴长是2b＝4， 离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),3)， 渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(2,3)x. 归纳升华 已知双曲线方程求其几何性质的步骤 1．若不是标准方程的先化成标准方程． 2．由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． 3．由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． [变式训练]　求双曲线9x2－y2＝81的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程． 解：将9x2－y2＝81变形为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,81)＝1，即eq \f(x2,32)－eq \f(y2,92)＝1. 所以