2017-2018学年高中数学人教版选修1-1（课件+检测）:3.1 变化率与导数 （4份打包）

第三章　导数及其应用 3.1 变化率与导数 3．1.3　导数的几何意义 [学习目标]　1.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程(重点)．　2.理解在某点处与过某点的切线方程的区别(难点、易混点)． [知识提炼·梳理] 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．函数的导数 当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝ 温馨提示　 “函数f(x)在点x0处的导数”是一个值；“导函数”简称“导数”是一个函数．所以求函数在某点处的导数时，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值． [思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　) (3)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的．(　　) (4)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　　) 解析：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线是曲线切线时，直线可能与曲线有两个以上的交点，正确．(2)与曲线有且只有一个交点的直线不一定是曲线的切线，如直线x＝1与抛物线y＝x2有且只有一个公共点，但x＝1不是抛物线y＝x2的切线，不正确． (3)f′(x0)是一个数值，不是变数，而f′(x)是关于x的一个函数，正确．(4)求f′(x0)时，可先求f′(x)，再求f′(x0)，故(4)错误． 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　) A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴斜交 解析：f′(x0)＝0，说明曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，所以与x轴平行或重合． 答案：B 3．在曲线y＝x2上切线倾斜角为eq \f(π,4)的点是(　　) A．(0，0) B．(2，4) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,16))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))) 解析：因为y＝x2， 所以 k＝y′＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0)) eq \f(（x＋Δx）2－x2,Δx)＝ eq^\o(,\s\do4(Δx→0)) (2x＋Δx)＝2x，所以 2x＝taneq \f(π,4)＝1， 所以 x＝eq \f(1,2)，则y＝eq \f(1,4). 答案：D 4. 若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x＋y＋5＝0，则(　　) A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0 C．f′(x)＝0 D．f′(x0)不存在 解析：f′(x)＝k＝－3＜0. 答案：B 5．对于函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝_______． 解析：因为f′(x0)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0)) eq \f(a（x0＋Δx）＋4－ax0－4,Δx)＝a， f′(1)＝2，所以a＝2. 答案：2 类型1　导数的几何意义(自主研析) [典例1]　已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是(　　) A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) C．0＜f′(3)＜f′(2)＜f′(3)－f(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 解析：从图象上可以看出f(x)在x＝2处的切线的斜率比在x＝3处的斜率大，且均为正数， 所以有0＜f′(3)＜f′(2)，此两点处割线的斜率eq \f(f（3）－f（2）,3－2)比f(x)在x＝2处的切线的斜率小，比f(x)在x＝3处的切线的斜率大，所以0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)． 答案：B 曲线f(x)在x＝x0附近 切线的斜率k f′(x0) 上升 k＞0 f′(x0)＞0 下降 k＜0 f′(x0)＜0 平坦 k＝0 f′(x0)＝0 归纳升华 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是曲线f(x)在点(x0，f(x0))