2017-2018学年高中数学人教版选修1-1（课件+检测）:3.3 导数在研究函数中的应用 （6份打包）

第三章　导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3．3.3　函数的最大(小)值与导数 [学习目标]　1.理解函数最大值与最小值的概念(难点)．　2.会求闭区间上连续函数的最大值、最小值(重点)．　3.能根据函数的最值求参数的值(难点)． [知识提炼·梳理] 1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值 函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值．函数的最值必在端点处或极值点处取得． 2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 温馨提示　 函数的最值是一个整体性的概念．函数的最值是比较某个区间内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． [思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　) (2)开区间上的单调连续函数无最值．(　　) (3)函数f(x)＝x2－3x＋2的极小值也是最小值．(　　) 解析：(1)函数的极大值不一定是函数的最大值，不正确； (2)连续单调函数最值在端点处取，则在开区间上无最值，正确；(3)函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))) eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)，当x＝eq \f(3,2)时函数取得极小值．该极小值也是最小值，正确． 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(　　) A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 当x∈(－1，1)时，f′(x)＜0， 所以f(x)在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值． 答案：D 3．函数f(x)＝x2－4x＋1在[1，5]上的最小值和最大值为(　　) A．－2，6 B．－3，－2 C．2，6 D．－3，6 解析：对称轴方程为x＝2，则f(x)在[1，2]上为单调减函数，在[2，5]上为单调增函数．当x＝2时，f(x)最小为－3，f(1)＝－2＜f(5)＝6，则最大值为6. 答案：D 4．函数y＝x－sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))的最大值是(　　) A．π－1 B.eq \f(π,2)－1 C．π D．π＋1 解析：在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上y′＝1－cos x≥0，所以y＝x－sin x为增函数，所以 当x＝π时，ymax＝π. 答案：C 5．函数y＝xex的最小值是________． 解析：y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex，令y′＝0，则x＝－1， 因为x＜－1时，y′＜0，x＞－1时，y′＞0， 所以x＝－1时，ymin＝－eq \f(1,e). 答案：－eq \f(1,e) 类型1　利用导数求最值(自主研析) [典例1]　已知函数f(x)＝x3－3x，x∈R. (1)求f(x)的单调区间； (2)当x∈[－eq \r(3)，3]时，求f(x)的最大值与最小值． 解：(1)f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 当x<－1或x>1时，f′(x)>0； 当－1<x<1时，f′(x)<0， 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)， 单调递减区间为(－1，1)． (2)由(1)可知x∈[－eq \r(3)，3]时， f(x)的极大值为f(－1)＝2，f(x)的极小值为f(1)＝－2， 又f(－eq \r(3))＝0，f(3)＝18， 所以f(x)的最大值为18，f(x)的最小值为－2. 归纳升华 求函数最值的步骤 第一步：求函数的定义域． 第二步：求f′(x)，解方程f′(x)＝0. 第三步：列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表． 第四步：求极值、端点值，确定最值． [变式训练]　求函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－4x＋4在[0，3]上的极值及最大值与最小值． 解：f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)， 令f′(x)＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x 0 (0，2) 2 (2，3) 3 f′(x) － 0 ＋ f(x) 4 ↘ 极小值－eq \f(4,3) ↗ 1 所以 函数f(x)＝eq \f(1,3