2017-2018学年人教版高中数学选修4-1（课件+检测）:第三讲 一～三 平行射影 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 （2份打包）

平行射影__平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 eq \a\vs4\al(一~三) 1．正射影的概念 给定一个平面α，从一点A ， 称 为点A在平面α上的正射影． 一个图形上各点在平面α上的 所组成的图形，称为 这个图形在平面α上的正射影． 2．平行射影 设直线l与平面α相交，称 为投影方向．过点 A作 的直线(称为投影线)必交α于一点A′， 称 为A沿l的方向在平面α上的平行射影． 一个图形上 所组成的图形，叫 做这个图形的平行射影． 作平面α的垂线，垂足为点A′ 点A′ 正射影 直线l的方向 平行于l 点A′ 各点在平面α上的平行射影 3．正射影与平行射影的联系与区别 正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积． 4．两个定理 (1)定理1：圆柱形物体的斜截口是 ． (2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则 ①β>α，平面π与圆锥的交线为 ． ②β＝α，平面π与圆锥的交线为 ． ③β<α，平面π与圆锥的交线为 ． 椭圆 椭圆 抛物线 双曲线 [例1]　若椭圆所在平面与投影面平行，则该椭圆的平行射影是 (　　) A．椭圆　 B．圆 C．线段 D．射线 [思路点拨]　要确定椭圆在投影面上的平行射影，关键看投影面与椭圆所在平面的位置关系． 平行射影 [解析]　因为椭圆所在平面与投影面平行，所以椭圆的平行射影无论投射线的方向如何，始终保持与原图形全等． [答案]　A 平面图形可以看作点的集合，找到平面图形中关键点的正射影，就可找到平面图形正射影的轮廓，从而确定平面图形的正射影． 1．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是： ①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点． 在上面的结论中，正确结论的编号是________． 解析：如图所示，由图可知①②④正确，而对于③两直线射影若是同一条直线，则两直线必共面，这与a，b异面矛盾，所以③错，故正确答案：①②④. 答案：①②④ 2．梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在α内，则它在α上的射影是____________． 解析：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在α上的射影是一条线段． 如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形ABCD在平面α上的射影仍是梯形． 答案：一条线段或梯形 3．已知△ABC的边BC在平面α内，A在平面α上的射影为A′(A′不在BC上)． (1)当∠BAC＝90°时，求证：△A′BC为钝角三角形； (2)当∠BAC＝60°时，AB，AC与平面α所成的角分别是30°和45°时，求cos∠BA′C. 解：(1)证明：∵AB>A′B，AC>A′C， ∴A′B2＋A′C2<AB2＋AC2＝BC2. ∴cos ∠BA′C＝eq \f(A′B2＋A′C2－BC2,2A′B·A′C)<0. ∴∠BA′C为钝角． ∴△A′BC为钝角三角形． (2)由题意，∠ABA′＝30°，∠ACA′＝45°. 设AA′＝1，则A′B＝eq \r(3)，A′C＝1，AC＝eq \r(2)，AB＝2， ∴BC＝ eq \r(AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC)＝ eq \r(6－2\r(2))， cos ∠BA′C＝eq \f(A′B2＋A′C2－BC2,2A′B·A′C)＝eq \f(\r(6)－\r(3),3). [例2]　如图，在圆柱O1O2内嵌入双球，使它们与圆柱面相切，切线分别为⊙O1和⊙O2，并且和圆柱的斜截面相切，切点分别为F1，F2. 求证：斜截面与圆柱面的截线是以F1，F2为焦点的椭圆． [思路点拨]　证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义(平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明． 平面与圆柱面的截线 [证明]　如图，设点P为曲线上任一点，连接PF1，PF2，则PF1，PF2分别是两个球面的切线，切点为F1，F2，过P作母线，与两球面分别相交于K1，K2，则PK1，PK2分别是两球面的切线，切点为K1，K2. 根据切线长定理的空