2017-2018学年人教版高中数学选修4-1（课件+检测）:2.4弦切角的性质 （2份打包）

四 弦切角的性质 弦切角定理 (1)文字语言叙述： 弦切角等于它 所对的圆周角． (2)图形语言叙述： 如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝ . 所夹的弧 ∠D [说明]　弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数． [例1]　如图，已知圆上的 ＝ ，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点． 弦切角定理 证明：(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE·CD. [思路点拨]　利用弦切角定理． [证明]　(1)因为 ＝ ， 所以∠BCD＝∠ABC. 又因为EC与圆相切于点C， 所以∠ACE＝∠ABC. 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB. 故eq \f(BC,BE)＝eq \f(CD,BC)， 即BC2＝BE·CD. 利用弦切角定理进行计算、证明时，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要添加辅助线构造所需要的弦切角． 1．如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是 上的一点，若∠TAB＝100°，则∠BTD的度数为 (　　) A．20° B．40° C．60 ° D．80° 解析：如图，作四边形ABET，因为四边形ABET是圆内接四边形， 所以∠E＝180°－∠TAB＝80°. 又CD是⊙O的切线，T为切点， 所以∠BTD＝∠E＝80°. 答案：D　 2．如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线，求证： (1)如果AB∥CD，那么AM＝MB； (2)如果AM＝BM，那么AB∥CD. 证明：(1)∵CD切⊙O于M点， ∴∠CMA＝∠B. ∵AB∥CD， ∴∠CMA＝∠A. ∴∠A＝∠B. ∴AM＝MB. (2)∵AM＝BM， ∴∠A＝∠B. ∵CD切⊙O于M点，∠CMA＝∠B， ∴∠CMA＝∠A. ∴AB∥CD. 3.如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB. (1)求证：AD⊥CD； (2)若AD＝2，AC＝eq \r(5)，求AB的长． 解：(1)证明：如图，连接BC. ∵直线CD与⊙O相切于点C， ∴∠DCA＝∠B. ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∴∠ADC＝∠ACB. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∴∠ADC＝90°，即AD⊥CD. (2)∵∠DCA＝∠B，∠DAC＝∠CAB， ∴△ADC∽△ACB. ∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AC,AB)， ∴AC2＝AD·AB. ∵AD＝2，AC＝eq \r(5)， ∴AB＝eq \f(5,2). [例2]　如图，PA，PB是⊙O的切线，点C在 上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为D， E，F. 求证：CD2＝CE·CF. [思路点拨]　eq \x(\a\al(连接CA，CB，,∠CAP＝∠CBA，,∠CBP＝∠CAB))―→eq \x(\a\al(Rt△CAE∽Rt△CBD,Rt△CBF∽Rt△CAD)) →eq \x(\f(CE,CD)＝\f(CD,CF))→eq \x(结论) 运用弦切角定理证明比例式或乘积式 [证明]　连接CA，CB. ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CAB. 又CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB， ∴Rt△CAE∽Rt△CBD， Rt△CBF∽Rt△CAD， ∴eq \f(CA,CB)＝eq \f(CE,CD)，eq \f(CB,CA)＝eq \f(CF,CD). ∴eq \f(CE,CD)＝eq \f(CD,CF)， 即CD2＝CE·CF. 证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形相似的条件，有时需要添加辅助线创造条件． 4．如图，已知MN是⊙O的切线，A为切点，MN平行于弦CD，弦AB交CD于点E. 求证：AC2＝AE·AB. 证明：连接BC. eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(MN∥CD⇒∠MAC＝∠ACD,MN切⊙O于A⇒∠MAC＝∠B)) eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(⇒∠ACD＝∠B,∠CAE＝∠CAB))⇒△ACE∽△ABC ⇒eq \f(AC,AB)＝eq \f(AE,AC)⇒AC2＝AB·AE. 5．如图，AD是△ABC的角平分线，经过点A，D的⊙O和BC切于点D，且AB，AC与⊙O相交于点E，F，连接DF，EF. 求证：(1)EF∥BC； (2)DF2＝AF·BE. 证明：(1)∵⊙O切BC于点D， ∴∠CAD＝∠CDF. ∵AD是△ABC的角平分线， ∴