2017-2018学年人教版高中数学选修4-1（课件+检测）:1.4直角三角形的射影定理 （2份打包）

课时跟踪检测(五) 直角三角形的射影定理 一、选择题 1．已知Rt△ABC中，斜边AB＝5 cm，BC＝2 cm，D为AC上一点，DE⊥AB交AB于点E，且AD＝3.2 cm，则DE等于(　　) A．1.24 cm　　 B．1.26 cm C．1.28 cm D．1.3 cm 解析：选C　如图，∵∠A＝∠A， ∴Rt△ADE∽Rt△ABC，∴， ＝ ∴DE＝＝1.28 (cm)．＝ 2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为(　　) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 解析：选C　设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为.和，∴两直角边在斜边上的射影分别为 3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm，斜边上的高为2.4 cm，则这个直角三角形的面积为(　　) A．7.2 cm2 B．6 cm2 C．12 cm2 D．24 cm2 解析：选B　长为3 cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8(cm)， 由射影定理知斜边长为＝5(cm)， ∴三角形面积为×5×2.4＝6(cm2)． 4．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6 cm，AD∶DB＝1∶2，则AD的长是(　　) A．6 cm B．3 cm cm C．18 cm D．3 解析：选B　∵AD∶DB＝1∶2， ∴可设AD＝t，DB＝2t. 又∵CD2＝AD·DB，∴36＝t·2t， ∴2t2＝36，∴t＝3 cm.(cm)，即AD＝3 二、填空题 5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l上的射影的最大值为________． 解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长． 答案： 6．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________． 解析：因为四边形ABCD为矩形， 所以∠A＝∠D＝90°. 因为∠BEF＝90°，所以∠AEB＋∠DEF＝90°. 因为∠DEF＋∠DFE＝90°，所以∠AEB＝∠DFE. 所以△ABE∽△DEF. 答案：①③ 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3.6，则BC＝________. 解析：由射影定理得， AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB， ∴. ，即BC2＝＝ 又∵CD2＝AD·BD， ∴BD＝. ∴BC2＝＝64. ＝ ∴BC＝8. 答案：8 三、解答题 8．如图所示，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，求CD的长． 解：在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8， 满足AB2＝AD2＋BD2， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC. 又∵∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°. ∴∠C＋∠B＝90°，即∠BAC＝90°. 故在Rt△BAC中，AD⊥BC， 由射影定理知AD2＝BD·CD，即62＝8·CD， ∴CD＝. 9.如图，AD，BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于点H. 求证：DF2＝GF·HF. 证明：在△AFH与△GFB中， 因为∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝ 90°， 所以∠H＝∠GBF. 因为∠AFH＝∠GFB＝90°，所以△AFH∽△GFB. 所以， ＝ 所以AF·BF＝GF·HF. 因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，所以DF2＝AF·BF， 所以DF2＝GF·HF. 10．已知直角三角形的周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分． (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长． 解：(1)如图， 设CD＝3x，BD＝5x， 则BC＝8x， 过D作DE⊥AB， 由题意可得， DE＝3x，BE＝4x， ∴AE＋AC＋12x＝48. 又AE＝AC， ∴AC＝24－6x，AB＝24－2x. ∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2， 解得x1＝0(舍去)，x2＝2. ∴AB＝20，AC＝12，BC＝16， ∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF⊥AB于点F， ∴AC2＝AF·AB. ∴AF＝(cm)； ＝＝ 同理，BF＝(cm)． ＝＝ ∴两直角边在斜边上的射影长分别为 cm. cm， $$ 四 直角三角形的射影定理 1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的 ， 叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段在直线上的正射影：线段的 在这条直线上 的 间的线段． (3)射影：点和线段的 简称为射影． 垂足 两个端点 正射影 正射影 2．射影定理 (1)