2017-2018学年人教版高中数学选修4-1（课件+检测）:1.1平行线等分线段定理 （2份打包）

一 平行线等分线段定理 1．平行线等分线段定理 (1)如果一组 在一条直线上 ，那 么在其他直线上 ． (2)用符号语言表述： 已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′(如图)，如果 __________，那么 . 平行线 截得的线段相等 截得的线段也相等 AB＝BC A′B′＝B′C′ [说明] (1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线，它是由三条或三条以上的平行线组成的． (2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等． 2．平行线等分线段定理的推论 (1)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 _____第三边． (2)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分 _______． [说明]　推论既可用来平分已知线段，也可用来证明线段的倍数问题． 平分 另一腰 [例1]　如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，l，l′分别交l1，l2，l3，l4于A，B，C，D和A1，B1，C1，D1，AB＝BC＝CD. 求证：A1B1＝B1C1＝C1D1. 平行线等分线段定理 [证明]　∵直线l1∥l2∥l3，且AB＝BC，∴A1B1＝B1C1. ∵直线l2∥l3∥l4，且BC＝CD，∴B1C1＝C1D1， ∴A1B1＝B1C1＝C1D1. [思路点拨]　直接利用平行线等分线段定理即可． 平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明． 1．如图，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，则BE等于 (　　) 　　　 　 　　　　　　　　 　 　　　　　　　 　 　　　　　 A．9 B．10 C．11 D．12 解析：过O作一直线与AB，CD，EF平行， 因为AO＝OD＝DF， 由平行线等分线段定理知，BO＝OC＝CE， 又OE＝6，所以BE＝9. 答案：A　 2．如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点A，B，C，D，O分别作直线a的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，D′，O′. 求证：A′D′＝B′C′. 证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于O点， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a，∴AA′∥OO′∥CC′. ∴O′A′＝O′C′. 同理，O′D′＝O′B′.∴A′D′＝B′C′. [例2]　如图，在△ABC中，AD，BF为中线，AD，BF交于点G，CE∥FB交AD的延长线于点E. 求证：AG＝2DE. 平行线等分线段定理推论1的运用 [思路点拨]　 eq \x(AF＝FC，GF∥EC)→eq \x(AG＝GE)→eq \x(△BDG≌△CDE)→eq \x(AG＝2DE) [证明]　在△AEC中， ∵AF＝FC，GF∥EC， ∴AG＝GE. ∵CE∥FB， ∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E. 又BD＝DC， ∴△BDG≌△CDE. 故DG＝DE，即GE＝2DE， ∴AG＝2DE. 此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果． 3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE平行于AB交BC于E，AD＝6，求BE的长． 解：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以OA＝OC，BC＝AD. 因为AB∥DC，OE∥AB， 所以DC∥OE∥AB. 因为AD＝6， 所以BE＝EC＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)AD＝3. 4．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F. 求证：AF＝eq \f(1,3)AC. 证明：如图，过D作DG∥BF交AC于点G. 在△BCF中，D是BC的中点， DG∥BF， ∴G为CF的中点，即CG＝GF. 在△ADG中，E是AD的中点， EF∥DG， ∴F是AG的中点，即AF＝FG. ∴AF＝eq \f(1,3)AC. [例3]　如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°， M是CD的中点． 求证：AM＝BM. 平行线等分线段定理推论2的运用 [思路点拨]　解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件． [证明]　过点M作ME∥BC交AB于点E. ∵AD∥BC，∴AD∥EM∥BC. 又∵M是CD的中点， ∴E是AB的中点． ∵∠ABC＝90°， ∴ME垂直平分AB. ∴AM＝BM. 有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理推论2的基