2017-2018学年人教版数学选修2-2课件+练习:2.3 数学归纳法 （2份打包）

课时跟踪检测(十七)　数学归纳法 一、选择题 1．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得(　　) A．当n＝4时命题不成立 B．当n＝6时命题不成立 C．当n＝4时命题成立 D．当n＝6时命题成立 解析：选A　因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立． 2．证明1＋(n∈N*)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是(　　) >＋…＋＋＋ A．1　　　　　　　　　 B．k－1 C．k D．2k 解析：选D　当n＝k时，不等式左端为1＋； ＋…＋＋＋ 当n＝k＋1时，不等式左端为1＋项，共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项． ＋…＋，增加了＋…＋＋＋…＋＋ 3．已知数列{an}的前n项之和为Sn且Sn＝2n－an(n∈N*)，若已经算出a1＝1，a2＝，则猜想an等于(　　) A. B. C. D. 解析：选D　∵a1＝1，a2＝， S3＝1＋＋a3＝6－a3， ∴a3＝. 同理可得a4＝，…， ，，.观察1， 猜想an＝. 4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么下列命题总成立的是(　　) A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立 D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 解析：选D　对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k2成立，故B错；对于C应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立”． 5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N*都成立，那么a，b的值为(　　) A．a＝ B．a＝b＝，b＝ C．a＝0，b＝，b＝ D．a＝ 解析：选A　法一：特值验证法，将各选项中a，b的值代入原式，令n＝1,2验证易知选A. 法二：∵1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N*都成立， ∴当n＝1,2时有 即解得 二、填空题 6．设f(n)＝1＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于________． ＋…＋＋ 解析：f(n＋1)－f(n)＝. ＋＋ 答案：＋＋ 7．用数学归纳法证明.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________________________________________________________________． －>＋…＋＋ 解析：观察不等式左边的分母可知，后一项比前一项多1，因此由n＝k到n＝k＋1左边多出了这一项． 答案：－>＋＋…＋＋ 8．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________________________． 解析：当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2. 答案：25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2 三、解答题 9．平面内有n(n≥2，n∈N*)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点．证明：交点的个数f(n)＝. 证明：(1)当n＝2时，两条直线有一个交点，f(2)＝1，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立， 即f(k)＝. 那么，当n＝k＋1时，第k＋1条直线与前k条直线均有一个交点，即新增k个交点，所以f(k＋1)＝f(k)＋k＝，即当n＝k＋1时命题也成立． ＝＋k＝ 根据(1)和(2)，可知命题对任何n≥2，n∈N*都成立． 10．设数列的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n＝1,2,3，…)． (1)求a1，a2； (2)求的通项公式，并用数学归纳法证明． 解：(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0， 有一根S1－1＝a1－1， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0， 解得a1＝. 当n＝2时，x2－a2x－a2＝0，有一根S2－1＝a2－， 于是－a2＝0， 2－a2 解得a2＝. (2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，