2017-2018学年人教版数学选修2-2课件+练习:1.1 变化率与导数 （4份打包）

课时跟踪检测(一)　变化率问题　导数的概念 一、选择题 1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足(　　) A．Δx＜0　　　　　　　 B．Δx＞0 C．Δx＝0 D．Δx≠0 解析：选D　根据定义知Δx可正、可负，但不能为0. 2．设f(x)＝，则f′(a)等于(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：选C　∵＝ ＝， ＝ ∴f′(a)＝li.＝－ 3．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　) A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1＝k2 D．不确定 解析：选D　k1＝＝2x0＋Δx； ＝ k2＝＝2x0－Δx. ＝ 因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定． 4．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　) A．－3 B．3 C．6 D．－6 解析：选D　当Δt趋于0时，式子－3Δt－6趋于－6. 5．设函数在x＝1处存在导数，则li等于(　　) A．f′(1) B．3f′(1) C.f′(1) D．f′(3) 解析：选C　li ＝f′(1)．＝ li 二、填空题 6．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h内发现水位从102.7 m上涨到105.1 m，则水位涨幅的平均变化率是________m/h. 解析：水位涨幅的平均变化率为＝0.1(m/h)． 答案：0.1 7．已知曲线y＝，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________． ，B－1上两点A 解析：∵Δx＝1,2＋Δx＝3， ∴Δy＝－ ＝， ＝－－ ∴kAB＝. ＝－ 答案：－ 8．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为，则m的值为________． 解析：∵ΔV＝(m3－1)， ×13＝m3－ ∴， ＝＝ 即m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3(舍去)． 答案：2 三、解答题 9．已知函数f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，求x0的值． 解：∵f′(x0)＝li ＝li ＝li ＝liΔx) x0＋ (－8＋2 ＝－8＋2x0， ∴－8＋2x0＝4， ∴x0＝3. 10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)． (1)求此物体的初速度． (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度． (3)求t＝0到t＝2时的平均速度． 解：(1)初速度v0＝li ＝li (3－Δt)＝3(m/s)， ＝li 即物体的初速度为3 m/s. (2)v＝li ＝li ＝li ＝li (－Δt－1)＝－1(m/s)， 即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反． (3)＝1(m/s)， ＝＝ 即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s. $$ 1.1 变化率与导数 1.1.1～1.1.2　变化率问题　导数的概念 假设下图是一座山的剖面示意图，建立如图所示的平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示． [提出问题] 平均变化率 自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)． 问题1：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量Δx，Δy分别是多少？ 提示：自变量x的改变量为Δx＝x2－x1，函数值的改变量为Δy＝y2－y1. 问题2：能否根据Δy的大小判断山路的陡峭程度？ 提示：不能． 问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 提示：对山坡AB来说，eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(y2－y1,x2－x1)可以近似地刻画． 问题4：能用eq \f(Δy,Δx)刻画山路陡峭程度的原因是什么？ 提示：因eq \f(Δy,Δx)表示A，B两点所在直线的斜率k，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山路越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比eq \f(Δy,Δx)越大，山路越陡；反之，山路越缓． 问题5：从A到B与从A到C，两者eq \f(Δy,Δx)相同吗？ 提示：不相同． [导入新知] 1．函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子 _______________称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率． 习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝ ，可把Δx看作是相对于x1 的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝