2017-2018学年人教版数学选修2-2课件+练习:1.2　导数的计算 （4份打包）

课时跟踪检测(四)　复合函数求导及应用 一、选择题 1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　) A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 答案：A 2．函数y＝5的导数为(　　) A．y′＝54 B．y′＝54 C．y′＝54 D．y′＝54 解析：选C　函数y＝的复合函数， 5是函数y＝u5与u＝x＋ ∴y′x＝y′u·u′x＝5. 4 3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　) A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋ C．2xln(2x＋5) D. 解析：选B　y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋ . 4．(新课标全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a的值为(　　) A．0　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：选D　y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，∴a＝3. 5．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A. B．2 C．3 D．0 解析：选A　设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行． ∵y′＝＝2，解得x0＝1， ，∴y′|x＝x0＝ ∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)， ∴切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离为 d＝， ＝ 即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是. 二、填空题 6．函数y＝sin 2xcos 3x的导数是________． 解析：∵y＝sin 2xcos 3x， ∴y′＝(sin 2x)′cos 3x＋sin 2x(cos 3x)′ ＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x. 答案：2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x 7．已知f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为________． 解析：∵f(x)＝(ax2－1)， ∴f′(x)＝. (ax2－1)′＝(ax2－1)－ 又∵f′(1)＝2， ∴＝2，∴a＝2. 答案：2 8．函数y＝sin2x的图象在点A处的切线的斜率是________． 解析：∵y＝sin2x， ∴y′＝2sin x(sin x)′＝2sin x·cos x＝sin 2x， ∴k＝sin. ＝＝sin 答案： 三、解答题 9．求下列各函数的导数： (1)y＝(1＋x2)5； (2)y＝(2＋3x2)； (3)y＝ln . 解：(1)y′＝5(1＋x2)4(1＋x2)′＝10x(1＋x2)4. (2)y′＝6x＋(2＋3x2)· ＝6x＋(2＋3x2)· ＝ ＝. (3)y＝ln(1＋)， )－ln(1－ y′＝)′(1－)′－(1＋ ＝·＋· ＝. 10．求曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积． 解：依题意得y′＝e－2x×(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2. 在坐标系中画出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x(图略)，注意到直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)． 结合图形可知，这三条直线所围成的三角形的面积为.＝×1× $$ 第二课时　复合函数求导及应用 复合函数 已知y＝(3x＋2)2，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))). 问题1：这两个函数是复合函数吗？ [提出问题] 提示：是复合函数． 问题2：试说明y＝(3x＋2)2是如何复合的． 提示：令u＝g(x)＝3x＋2，y＝f(u)＝u2，则y＝f(u)＝f(g(x))＝(3x＋2)2. 问题3：试求y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，g(x)＝3x＋2的导数． 提示：y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，g′ (x)＝3. 问题4：观察问题3中的导数有何关系． 提示：y′＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)． [导入新知] 1．复合函数的概念 对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 ，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作 ． 2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于 ___