2017年秋（湘教版）九年级上册数学习题:小专题（六）　线段等积式、比例式的证明

小专题(六)　线段等积式、比例式的证明 方法1　三点定型法 要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用“三点定型法”找相似三角形． 1．已知：如图，∠ABC＝∠ADE.求证：AB·AE＝AC·AD. 证明：∵∠ABC＝∠ADE，∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ＝ 即AB·AE＝AC·AD. 2．如图，已知△ABC中，点D在AC上，且∠ABD＝∠C，求证：AB2＝AD·AC. 证明：∵∠ABD＝∠C，∠A是公共角，[来源:Zxxk.Com] ∴△ABD∽△ACB. ∴. ＝ ∴AB2＝AD·AC. 3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，交BC延长线于F.求证：CD2＝DE·DF. [来源:学_科_网] 证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点， ∴∠A＋∠B＝90°，CD＝AD. ∴∠A＝∠DCE. 又∵DF垂直平分AB， ∴∠BDF＝90°. ∴∠B＋∠F＝90°. ∴∠DCE＝∠F. 又∵∠CDE＝∠FDC， ∴△CDE∽△FDC. ∴，即CD2＝DE·DF. ＝ 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B.求证：BD·CD＝BE·CF. 证明：∵△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵∠B＋∠BDE＋∠DEB＝180°， ∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B， ∴∠FDC＝∠DEB. ∴△BDE∽△CFD. ∴， ＝ 即BD·CD＝BE·CF. 方法2　等线段代换法 从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用“三点定型法”找相似三角形． 5．已知：如图，在▱ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F.求证：AD·AB＝AF·CE. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD∥BC. ∴∠ADF＝∠E. ∴△ADF∽△CED. ∴. ＝ ∴，即AD·AB＝AF·CE. ＝ 6．如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC＝120°，求证：DE2＝BD·CE. 证明：∵△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°. ∴∠ADB＝∠AEC＝120°， ∠B＋∠BAD＝60°. 又