第3章 图形的相似 单元水平测试 2025-2026学年湘教版九年级数学上册

第3章 图形的相似 一、单选题 1．，若，，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 3．如图，在平行四边形中，为边上的点，若交于，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，，且与交于点O，，，，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 5．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，以的一条直角边为斜边，向外作，使，延长交的延长线于点，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，在的延长线上取一点E，使，连接交于点F，且，则的长为（    ）    A．5 B．6 C．6.5 D．7 8．如图，，且，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知四边形是平行四边形，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 10．如图，在矩形中，，点在线段上运动，连接，以为斜边作等腰，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的2倍后得到线段，则端点D的坐标为 12．如图，已知，，如果，那么的长为 ． 13．如图，在中，，在上取一点，使，，如果在上取一点，使与相似，则长为 ． 14．如图，在等边中，为上一点，为上一点，且，，，则等边的边长为 ． 15．如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是 ． 三、解答题 16．如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，，．与关于坐标原点位似，且相似比为（点、、的对应点分别为点、、）． (1)在轴右侧画出的位似图形，并写出的比值； (2)在（1）中，点的对应点的坐标为_____；点的对应点的坐标为_____． 17．如图，，相交于点D，． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的长． 18．如图，在中，点、分别在边，上，、相交于点，，． (1)求证：； (2)吗？说明理由 (3)如果的面积为2，求的面积． 19．如图，在等边三角形中，点 D，E 分别在线段的延长线上．已知，，． (1)求证：； (2)求的度数． 20．已知：如图，是直角三角形斜边上的中线，，交的延长线于点．求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】∵ ， ∴ 相似比， ∴ 面积比． 故选：C． 2．A 【分析】本题主要考查位似图形，熟练掌握位似图形是解题的关键；由题意得位似比，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵和是位似图形，点O为位似中心，， ∴位似比， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为：． 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．由平行四边形的性质得到，证明，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴， ， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了由平行截线求相关线段的长，理解题意是解决本题的关键． 根据可得，则进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选B． 5．B 【分析】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．根据网格中的数据求出的长，，求出，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意可得：，； ， A．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似． B．夹的两边之比为：，图中的三角形（阴影部分）与相似． C．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似． D．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故选：B． 6．A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定，解题的关键是掌握：两角分别相等的两个三角形相似以及相似三角形的对应边成比例，对应角相等．通过两角分别相等的两个三角形相似证明,，，则,，， ，将式子变形即可解答． 【详解】解：，， ， 为等腰三角形， ， ， ， 为直角三角形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选项错误， ，， , 又， ， ， ， ， ， 故选项正确， 在和中， ， 又， ， ， ， 故选项正确， ， ， ， 故选项正确， 故选：． 7．B 【分析】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题． 首先作辅助线：取的中点，连接，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得与的值，利用三角形中位线的性质求得的值． 【详解】解：取的中点，连接，   四边形是平行四边形， ，，， 则，， ，， ， ，即 ， ， 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．先证，然后根据相似三角形周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：，即 ， ， ． 故选：C． 9．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，由四边形是平行四边形，得，，再证明，，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，, ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 10．B 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，在上截取，作交于点，连接、、，作交的延长线于点，可得四边形为正方形，即得，进而可证，得到，可知点在正方形的对角线所在的直线上运动，即可得，再求出的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取，作交于点，连接、、，作交的延长线于点，则 ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ，， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ，， ∴， ， ， ， 点在正方形的对角线所在的直线上运动， ， ，， ， ， ， ∴线段的最小值为， 故选：． 11． 【分析】本题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题的关键． 利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出D点坐标． 【详解】解：∵以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段， ∴点与点是对应点， ∵点的坐标为，位似比为：， ∴点的坐标为：， 故答案为：． 12．3 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据，可得，再由，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3 13．或 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，分类讨论相似的对应情况是解题的关键．根据相似三角形的对应边成比例，分“”和“”两种情况分析，结合已知边长计算出的可能值，再结合题目条件确定最终结果． 【详解】解： ① ， ， 又， ． ② ， ， 又， ． 故答案为：或． 14．18 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质、三角形的内角和定理的应用，根据等边三角形的性质求出，，推出，即可证得，即可得出答案． 【详解】解：在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：18． 15．或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，再证明，利用相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， 故的长是或， 故答案为：或． 16．(1)，图见解析 (2)； 【分析】本题考查了作图——位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解此题的关键． （1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点、、的横纵坐标都乘以得到点、、，再顺次连接即可得出答案； （2）利用（1）中得到的点即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． 相似比为， ． （2）解：由（1）得，，． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据相似三角形对应角相等，可得，然后根据三角形内角和定理，可求得； （2）先求得，然后根据相似三角形对应边成比例，写出比例式即可求解． 【详解】（1） 解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2） 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)24 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由，得，即可得证； （2）由得，即可得证； （3）根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ． 又， ． （2）解：，理由如下： ， ． ． ． （3）解：， ． ， ， ． 设， ， ， ． ，， ． ， 解得． ． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）先由等边三角形得到，则，再证明，即可证明相似； （2）根据等边三角形的性质以及三角形的外角性质可得，再由相似三角形得到，则，即可求解的度数． 【详解】（1）证明：∵等边三角形 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 由余角的性质可得，由直角三角形的性质可得，可证，再证，即可求解． 【详解】证明：，． ． 是直角三角形斜边上的中线， ． ．． 又， ． ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $