2017年秋（湘教版）九年级上册数学习题:小专题（五）　相似三角形的基本模型（教材变式型）

小专题(五)　相似三角形的基本模型(教材变式型) 模型1　X字型及其变形 模型展示：(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO； (2)如图2，对顶角的对边不平行，则△ABO∽△CDO. 教材母题(教材P102T5)：如图，AE与BD相交于点C，已知AC＝5，BC＝3，EC＝10，DC＝6.求证：AB∥DE. 证明：∵， ＝＝，＝＝ ∴. ＝ 又∵∠ACB＝∠ECD， ∴△ABC∽△EDC. ∴∠A＝∠E. ∴AB∥DE. 变式训练： 1．(恩施中考)如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于(D) A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2 2．已知：如图，∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长． 解：∵∠ADE＝∠ACB， ∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB， 即∠BDF＝∠ECF. 又∵∠BFD＝∠EFC，[来源:学。科。网] ∴△BDF∽△ECF. ∴. ＝，即＝ ∴DF＝4. 模型2　A字型及其变形 模型展示：(1)如图1，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC； (2)如图2、图3，公共角的对边不平行，且有一对角相等，则△ADE∽△ACB. 教材母题(教材P82T2)：如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝6，AB＝5，EC＝4，DB＝7.求证：△ABC∽△AED. 证明：∵， ＝，＝ ∴. ＝ 又∵∠CAB＝∠DAE， ∴△ABC∽△AED. [来源:Z|xx|k.Com] 变式训练： 3．(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：.[来源:学科网ZXXK]＝ 证明：∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABE. 又∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠ABE＝∠ACB. 又∵∠BAE＝∠CAB， ∴△ABE∽△ACB. ∴. ＝ ∴. ＝ ∴. ＝ 4．如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：. ＝＋ 证明：∵AB∥EF， ∴△DEF∽△DAB. ∴. ＝ 又∵EF∥CD， ∴△BEF∽△BCD. ∴. ＝ ∴＝1. ＝＋＝＋ ∴. ＝＋ 模型3　旋转型 模型展示：如图，若∠BAD＝∠CAE，则△ADE绕点A旋转一定角度后与△ABC构成A字型的相似