初中奥数竞赛培优专题讲座：专题八（PDF版）

[x]与{x4 八、[x]与{x} [竞赛要点] 定义1对于一切实数x,[x]表示不超过x的最大整数如[r]=3,[√2] [2.7]=2,[-7.5]=-8,[-0.1] 定义2对于一切实数x,用{x表示x-[x].如{3.74}=0.74,{-7.3}=0.7 从以上定义可以推出,若x=n+a,n为整数,0≤a≤1,则[x]=n,{x=a,x= 由于{x}与[x]有密切的联系,故我们将研究的重点放在[x]上,x}的问题可以通 过式子x=[x]+{x}转化为[x]的问题 初中数学竞赛培优教程 檀 [方法述要] 性质1①[x]≤x<[x]+ ②x-1<[x]≤x ③0≤{x}<1. 证明①对任意的实数x,有x=[x]+a,其中0≤a<1 显然[x]≤x=[x]+a<[x]+1,即[x]≤x<[x]+1 ②对任意的实数x,有x=[x]+a,0≤a<1.x-1=[x]-(1-a)<[x≤[x]+a, 即x-1<[x]≤ C=x- 因为x-1<[x]≤x,所以0≤{x}<1 性质2①[n+x]=n+[x],n为整数; ②[x]+[y≤[x+y ③{x}+{y|≥{x+y}; ④若x≥0,y≥0,则[xy]≥[x][y] 证明①对于任意的实数x,有x=[x]+a,其中0≤a<1 因为n+x=n+[x]+a=(n+[x])+a,n+[x]为整数,0≤a<1, 所以[n+x]=n+[x]; ②对任意的实数x,y,有x=[x]+a1,y=[y]+a2,其中0≤a1<1,0≤a2<1 =[x]+a1+[y]+a2=([x]+[y]) 2 八[x]与{x} 性质5若a,b是两整数且b>0,则a=ba1+b1b 证明a,b是两个整数,由整除理论可知 a=bg+r(q为整数,0≤r<b) 在①式两边同时除以b,得=q+ 因为q是整数,0≤1<1,所以[;]=q 将 ],r=b{4}代入①式得a ]+b{2}. [赛题精析 例18.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22的整数部分是多少? 分析这类求[x]的问题,主要是估计x在哪两个相邻整数之间 (a +c)(b-c=ab-ac +bc ab-(a-b)c-c2.在a>b时 (a+c)(b-c)<ab 初 中即两个数的乘积,在大数增加一个值,小数减少同一个值时,乘积变小可利用这一事实 /学/比较题目中三项的大小 解根据分析