初中奥数竞赛培优专题讲座：专题二 质数与合数（PDF版）

质数与合数 个质因数p(i=1,2,3,…,n)来说,1,p1,p2,…,协都是N的约数(共有k;+1个,且 互不相同),这些约数的各种可能之积仍是N的约数.因此,N的正约数的总个数为 (k1+1)(k2+1)(k3+1)…(km+1) [赛题精析] 例1求75600的约数的个数 解将75600分解成质因数乘积的形式75600=24×3×52×7 由约数个数定理可知:75600的约数的个数是 (4+1)×(3+1)×(2+1)×(1+1)=160个 例2我们称恰有8个正约数的自然数叫“好”数,求最小的“好”数 解因为8=1×8=2×2×2=4×2, 所以“好”数的标准分解式只有如下三种形式:p(p为质数);p3p2(,p2为不同 的质数);p1p2p3(p1,p2,p3为不同的质数) 因为要求“好”数中的最小数,所以标准分解式中质数的取值应尽可能地小.27= 128,23×3=24,2×3×5=30.故最小的“好”数是24 初 中 例3已知1176×a=b4,a、b为自然数,求a的最小值 数 解将1176分解成质因数的乘积,得1176=23×3×72 学 竞 1176×a=23×3×72×a=b4,a,b为自然数 赛 故a的最小值=2×33×72=2646 培 优 例4对于任何大于1的自然数n,试证明n4+4是合数 大于1的 证明n4+4=n4+4n2-4n2+4=(n2+2)2-(2n)2 教程专题讲座 分析从合数的概念出发,将n+4分解成两个因式的乘积再证明每个因式是程 =(n2+2n+2)(n2-2n+2) 由于n>1,所以n2+2n+2>1,n2-2n+2>1.故n4+4是合数 例5设a,b,c,d是自然数,并且a2+b2=c2+d2,证明a+b+c+d一定是合 数 证明因为a,b,c,d是自然数,所以a+b+c+d>2 因为a,b,c,d分别与a2,b2,c2,d2的奇偶性相同,所以a+b+c+d与a2+b2+ c2+d2的奇偶性也相同.a2+b2+c2+d2=2(c2+d2)为偶数 因为a+b+c+d也为偶数,同时又有a+b+c+d>2,故a+b+c+d一定是 合数 例6已知质数p,q满足p+q=199求1+1的值 质数与合数 解因为p+q=199是一个奇数,所以质数p,q中必为一个是奇数,另一个是 偶数. 又因为正偶数中只有2是质数,所以p,q中有