初中奥数竞赛培优专题讲座：专题二十 几何中的旋转变换（PDF版）

二十、几何中的旋转变换兵 二十、几何中的旋转变换 [竞赛要点] 1.旋转的定义 把图形F绕平面上的一个定点O旋转一个角度,得到图形F,这样的由图形F 到图形F的变换叫做旋转变换,简称旋转,记作R(O,日).如图20-1所示,△ABC经 过旋转后得到△ABC 为了说理的方便,我们把图形F经过旋转变换R(O 0)后得到的图形F的过程记作 R(O,0) F′,简记为F (O,0) F 点A在旋转变换R(O,0)下的对应点A称为点A 初中数学竞赛培优教程专题讲座 在该旋转变换下的像,同时,A称为A的原像.在图20 O 中,显然有A (O,0 (O, (O,6) a. B C 图20 从而△ABC (O,0) △ABC 一般地,若F (O,0 F,则称F为F在旋转变换R(O,0)下的像,F称为F'的原 像. 2.旋转的性质 (1)在旋转变换下,两点之间的距离不变 (2)在旋转变换下,对应点到旋转中心的距离相等; (3)在旋转变换下,两直线的夹角不变,两对应直线的夹角等于旋转角 (4)在平移变换下,图形F与它的像F'全等,即F≌F [方法述要] 把分散的线段、角相对集中起来,从而使已知条件集中在一个我们所熟知的基本图 形之中.利用旋转后产生的新的图形的性质对原图形进行研究,从而使问题得以转化 [赛题精析] 例1已知正方形ABCD,且AE=AG,∠EAB=∠GAD,求证BE=DG,并且 二十、几何中的旋转变换 BE⊥DG 分析欲证BE=DG,BE⊥DG.倘若能证得△ABE绕A 点旋转90°与△ADG重合,问题即解决 G 证明∵AB=AD,∠BAD=Rt∠;AE=AG, ∠EAG=Rt∠ 那么∠BAE=∠DAG 图20-2 △ABE绕A点旋转90°,AB与AD重合,AE与AG重 合根据对应线等角定理BE=DG,BE⊥DG 例2如图20-3,设点E,F各在正方形ABCD的边 BC,CD内,求证:∠AFE>45° 分析欲证∠AFE>45°,为此可创造一个大小为45 F 的角与∠AFE产生逻辑上的联系,通过比较来推得结论 证明 AB=AD,∠DAB=∠ABC=Rt∠ ∵把Rt△ADF一→Rt△ABG,点G在CB的 图20-3 延长线上 则∠GAF=Rt∠ 而AG=AF,∠AFG=45°,∴∠AFE>∠AFG=45° 例3如图20-4,已知两个边长为a的正六边形,使一个正六 边形的一个顶点