初中奥数竞赛培优专题讲座：专题二十一 几何中的翻折变换（PDF版）

二十一、几何中的翻折变换 十一、几何中的翻折变换 [竞赛要点] 1.翻折的定义 定义1把一个图形(或部分图形),沿着某一条直线l翻转180°,得到一个与原来 图形成轴对称的图形该图形叫做原来图形关于直线l的翻折图形.翻折图形必然是相 互的,F是F的翻折图形,那么F'也是F的翻折图形,因此F和F"互为翻折图形.为了 方便起见,我们把这种由图形F经过直线l翻折到图形F"的变换叫做翻折变换,简称 翻折,记作S(l). 为了说理方便,我们把图形F经过翻折变换S(l)后得到的图形F的过程记作F 初s() F',简记为F F 点A在翻折变换S(l)下的对应点A称为点A在该翻 克折变换下的像,同时,A称为A的原像在图21中,显然 有A PAR 2 B′,C C B B 赛培优教程专题讲座 从而△ABC △ABC 般地,若F F′,则称F为F在翻折变换S(l) 下的像,F称为F的原像 图21-1 定义2在翻折变换下产生的翻折图形在新的位置中产生了图形间的逻辑联系 凹应用这个联系来解题的方法叫做几何图形翻折法 2.中心对称与轴对称 (1)中心对称 当旋转变换的旋转角为0=180°时,得出的图形,也称为中心对称图形,设图形F 关于点O的中心对称图形为F,而F中的点P与F中的点P是对称点,那么,线段 PP的中点为O (2)轴对称 设图形F关于直线L的轴对称图表为F,而F中的点P与F中的点P是对应点, 那么,线段PP的垂直平分线为L.有的图形本身就是轴对称图形,如角(1条对称轴) 等腰三角形(1条对称轴)、等边三角形(3条对称轴)菱形(2条对称轴)矩形(2条对称 二十一、几何中的翻折变换 轴)、正方形(4条对称轴)、圆(通过圆心的每一条直线都是对称轴).在空间还可以有关 于平面的对称.更一般地,对称性分析是数学竞赛的常用技巧 [方法述要] 定理1已知图形F关于直线l的翻折图形是存在的,且是惟一的 定理2两个互为翻折图形F和F的翻折轴是存在的,且是惟一的 定理3平面内的任何一条直线都可作为已知图形的翻折轴 平面是可以无限伸展的,在一个平面内存在无限多条直线,而其中任一条直线分该 平面为两个半平面若把一个半平面沿着一条直线翻折过来,就会与另一个半平面完全 重合.故平面内的任何直线都可作为已知图形的翻折轴 定理4任何两个翻折图形F和F,它们必定是全等图形,且F上的各点与F'上 相对应的点,以相反