初中奥数竞赛培优专题讲座：专题九 同余式及其应用（PDF版）

九、同氽式及其应用 所以8|N. 解法2利用同余的有关性质. 因为N-(a0+2a1+4a2) =10an+10″-·an-1+…+102·a2+10·a1+a0-ao-2a1-4a2 (n-3 ]+(96a2+8a1 8×125×[10(-3)·an+10n-4)·an-1+…+a3]+12a2+a1}, 所以N≡(ao+2a1+4a2)(mod8) 又(ao+2a1+4a2)=0(mod8),所以N≡0(mod8),即8|N 例5求证:504|n9-n3,n为整数 分析由504=789,可考虑对模7,8,9分类讨论 证由于504=78·9, 当n=≡0,±1,±2,±3(mod7)时,有n3=0,±1(mod7),n°≡0,±1(mod7) 故n9-n3=0(mod7) 当n≡0,±1,±2,±3,±4(mod8)时,有 n3=0,±1,±3(mod8),故n9=0,±1,±3(mod8).n.-n3=0(mod8) 初中数学竞赛培优教程,专题讲 当n≡0,±1,±2,±3,±4(mod9)时,有 n3=0,±1(mod9);n”≡0,±1(mod9) 故 n3==0(mod9) 又因为(7,8)=(7,9)=(8,9)=1,所以n-n3=0(mod7·89) 即504 例6十进制中,444494字和为A,A的数字和为B,B的数字和为C,求C 分析由于10=1(mod9),所以对整数an,an-1,…,ao,an10”+an-110y-)+…+ 座a110+a0≡an+an-1+…+a0(mo9),这表明十进制中,一个数与它的数字和模9同余 因此C≡B≡A≡4444143d9).如果能估计出C的大小,C就不难确定 解44447(均mod9,以下省略),而73=(-2)3=-8=1,所以 444444744-73×1481+1=7 C≡B=A=4444497 另一方面,444444105)444102220,所以44444数不多于22220.从而 A<9×2220=199980, 即A至多是6位数.因此B<9×6=54 在1,2,…,53中,数字和最大的是49,因此C≤4+9=1 在≤13的自然数中,只有7模9同余于7,所以C=7 例7求证:(a)97;(b)19977不能表成若干连续整数的立方和 九、周余式及其应用 分析我们选择一个适当的自然数m作模.算出9