初中奥数竞赛培优专题讲座：专题六 技巧方程（PDF版）

六、技巧方程 六、技巧方程 [竞赛要点] 本讲要点对常规方程提供一些非常规的解法;对非常规的方程提供一些常规或非 常规的技巧.总的目的是从方法技巧的角度去提高分析问题、解决问题的能力.所涉及 的内容,基本上是初中的知识 [方法述要] 技巧方程求解的主要方法有观察法、配方法、换元法、常数代换法、韦达定理法、方 程的方程组解法、方程组的方程解法数形结合法、方程的不等式解法等等 初中数学竟赛培优教程 [赛题精析] 例1求方程x+√x-2=4+√2的实数解 解观察方程两边的结构,取 得x=4 说明观察法解方程的缺点是会减根,不能肯定已找到了全体根但本例不难完 题善将原方程变为(√x-2)2+√x=2-(2+2)=0,则关于y=√x=2的方程y2+y 讲|-(2+V2)=0有两个异号的实根,从而有惟一的非负根 座 例2解方程x /,1 解法1显然x≥1.方程两边乘以2后,移项配方,有 0=2 x-x)-2yx-x+1)+(x-1)-2yx=1+1 1-1)+(√x-1 由非负数的性质,得 =六、执巧方程 1-y± 2y-3 11±y8 例10求方程的整数解2√x+√2y=√32 ① 解由2√x≤√32知0≤x≤8 ② 又由①有√2y=√32-2√x,平方后移项,得8√2x=16+2x-y 因右边为整数,故√2x必为整数,记x=2b2(b为整数),代入②则0≤2b2≤8, 故b2只能取0,1,4 当b2=0时,x1=0,代入①得y1=16; 当b2=1时,x2=2,代入①得y2=4; 当b2=4时,x3=8,代入①得y3=0; 例11解方程x+ 2 解显然x>1,将原方程两边平方得x2-1+2=114,两边加1,配方得 开方取正值,得 +1=,有 144 即√x2-1+ 得√x 或√x2 分别解得 (舍去不大于1的解)检验知,均为原方程的解 说明本例常用三角换元x= 0°<0<90°,化为、1 SIn sing cos0 12 初中数学竞赛培优教程专题讲座 y 或设y=—,转化为方程组 例12求解方程组正数解{y2+x2+y=3 解法1如图6-1,作Rt△ABC,使AB=1,BC=√3,AC=2,在三角形内取点O, 使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°,由余弦定理知,OA=x,OB=y,OC=z是原方 程组的一个正数解 将△AOC绕C点旋转60°,得△AO℃,则A′,O