初中奥数竞赛培优专题讲座：专题七 不定方程（PDF版）

七、不突方程华 七、不定方程 [竞赛要点] 未知数个数多于方程个数的方程(组),叫做不定方程(组)通常只讨论它的整数解 或正整数解 不定方程是整数论中最古老的一个分支,早在公元三世纪初,古希腊数学家丢番图 就研究过这样的方程,人们又把不定方程叫做丢番图方程 [方法述要] 初中涉及的不定方程问题,通常有两种基本的解题思路:一,运用整数的若干基本 初性质二,运用初中的基本知识与基本方法,如因式分解配方,用一元二次方程的根的 数判别式及根与系数之间的关系,用不等关系等,一般具体操作时,常综合这两个基本解 学题思路解决有关不定方程的问题 竞赛培优教程.专题讲座 [赛题精析] 例1求不定方程3x+5y=28的整数解 解因a=3,b=5,(a,b)=1,所以方程3x+5y=28有整数解 先利用辗转相除法求出3x+5y=28的一组解 5=3×1+2 2=5-3×1 3=2×1+1 1=3-2×1 将①式代入②式得:3-2×1=3-(5-3×1)=3×2+5×(-1)=1 即得 ∫xo=56 yo=-28 是3x+5y=28的一组解 故3x+5y=28的所有整数解为 x=56+5t (t为整数). y=-28-3t 说明对于一些不定方程,可以通过观察看出它的一组整数解,而不必每次都用辗 转相除法来求如上例中,观察方程3x+5y=28,容易看到 0 是方程的一组解 例2求14x-16y=-82的正整数解 七不突方程 解因a=14,b=-16,(a,b)=2,2|82,所以14x-16y=-82有整数解 在原方程两边同时除以2,得7x-8y=-41,先求出7x-8y=-41的一组解 容易看出,当x=-7,y=-1时,满足7x-8y=-41 故7x-8y=-41的一切整数解为 (t为整数) 1-7t 解不等式组 7-8t>0 得t<、7 故 3,…,为上述不等式 1-7t>0 组的无穷多组正整数解 例3求满足 的所有正整数 511=1变形为4(y-x)=x考虑因式分解,则有(4-x)(y+4) 因x,y均为正整数,所以1≤4-x≤3.从而有4-x=1,2,即x=3,2.于是有x= 3时,y=12;x=2时,y=4 故满足题中条件的x,y分别为x=3,y=12;x=2,y=4 初 中 例4有一个四位数把它从中间分成两半得到前、后两个两位数,将前面的两位数 数末尾添一个0,然后加上前后两个两