第2章 反比例函数 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（苏科版·新教材）

易错警示对于含参的一元二次方程，需要注意 b2-4ac是否大于等于0，否则容易多解. 举反三 1.D 2.(1)801600 (2)设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是 [100-2(x-50)]件，根据题意， 得(x-40)[100-2(x-50)]=1350, 解得x1-55,x2-85>65(舍去). 故每件工艺品售价应为55元. (3)设每件工艺品售价为y元，则每天的销售量是 [100-2(y-50)]件， 根据题意，得(y一40)[100一2(x-50)]=2000, 整理，得y2-140y+5000=0, △=1402-4×5000<0，∴.方程无解. 故利润不能达到2000元. 3.（1)方程r2-3x+2=0是不等式组x-20 (x+2>3, 的“半隐二次方程”.理由如下： x2-3x+2=0,∴.(x-1)(x-2)=0, ∴.x-1=0或x-2=0,∴.x1=1,x2=2 1x+23得1<x≤2， 解不等式组x一2<0， .x2=2满足不等式组的解集，x1=1不满足不等 式组的解集，.方程x2一3x十2=0是不等式组 x+2>3, 的“半隐二次方程”. x-20 (2)x2-a.x=2x,x2-ax-2x=0, x(x-a-2)=0,∴.x1=0,x2=a十2. |x+2≥2x-1 解不等式组 x>a, 得， i-a. 若使不等式组有解，则a<3. ①若x1不是不等式组的解，x2是不等式组的解， 则a≥0，a十2≤3，∴.0≤a≤1； ②若x1是不等式组的解，x2不是不等式组的解， 则a<0,a十2>3或a十2a,∴.a无解 综上所述，a的取值范围为0≤a≤l. 1 -2 (2).一元二次方程2x2十3x一1=0的两根分别 ，42 为m,n, 六m十n= 1 2mn=-2, m2+n2=(m+n)2-2mm=2+123 (3).实数s,t满足2s2+3s-1=0,2t2+3t-1= 0且s≠t, ∴.s,t是一元二次方程2x2十3x一1=0的两个实 数根， 21 s十t=- 2 :(6-s2=(+5)-4=(-)°-4× 2 ￥ 2 -=士√/17. s t st 1 2 第2章反比例函数 例DA[解析]：反比例函数y=2,k=2>0, ∴.图象位于第一、三象限，在每一个象限内y随着x 的增大而减小，当x>1时，0<y<2, ∴选项B,C,D错误，不符合题意； 当=2时y=号-1图象必经过点2,1》， ∴选项A正确，符合题意.故选A. 方陆技巧先根据反比例函数的性质分析函数的 图象所在象限及增减性，再判断各选项是否符合 题意 例2D[解析]：一次函数y=kx十2+1中， k2+1>0,.直线与y轴的交点在正半轴，故A,B不 合题意，C,D符合题意. C.由一次函数的图象过第一、二、四象限可知k<0, 由反比例函数的图象在第二、四象限可知k>0,两结 论相矛盾，故选项C错误； D.由一次函数的图象过第一、二、三象限可知>0， 由反比例函数的图象在第二、四象限可知>0，故选 项D正确.故选D. 例3D[解析]如图，延长DC,BA交于点E, 设CD=a(a>0). .CD:OB=1:3,∴.OB=3a. .AB⊥y轴，CD⊥x轴， ∴.点A的纵坐标为3a,点C的纵坐标为a, a=飞，3a= TA ax4=3a0D=- k a,AB=- k 3a “反比例函数y至经过A,C两点， ∴SAc=SAA0B=-2: 人>k的几何意义是本章重点 .'∠EDO=∠DOB=∠EBO=90°， 四边形OBED是矩形， BE-OD=冬，DE=OB=3a, AE=BE=AB三-2张，CE=DE-CD=2a Sae=号AECE=-5 3 ∴S能0BD=OD·OB=-色X3a=-36. a ,'S△A0=4,且S矩形OBED一S△D0c一S△AOB一S△ABc S△A0D “.-3k-（)-(-)-(-)=4, k=一3.故选D D 0 例4(1)将点A(6,2)分别代人一次函数和反比例 函数的表达式，得号×6十m=2,2=名 6 解得m=-2,k=12, ∴.一次函数和反比例函数的表达式分别为y= 2 12 3x-2y= (2),∠1=∠2，反比例函数的图象关于直线y三x 对称， →反比例函数图象的几何性质之一 .点A与点C关于直线y=x对称. A(6,2),.C(2,6). 2 设直线1平移后的直线对应的表达式为y=x十n, 将点C2,6代入，得号×2+n=6, 解得n=14 3 20 3 -(-2)= 3, ∴点C的坐标为(2,6)，直线向上平移的距离为 例5P=1200 t J 例6任务1：设I关于R的函数表达式为I=卡(U 为常数，且U≠0). 将R=R+R2=5+10=15,I=0.6代人I=R, 得0.6-号解得U=9, U ·I关于R的函数表达式为I=9 R 任务2：根据题图(3)，光照强度适宜人眼阅读的电流 的取值范围为0.1≤I≤0.25， :1=0R=9 .9>0,.R随I的增大而减小， 9 心当I=0.1时R值最大，R大=0.1=90， 9 当1=0.25时R值最小，R-0,.25-36, .36≤R≤90. .R=R2+5,.36≤R2+5≤90， ∴.R2的取值范围为31≤R2≤85. 巩固特圳 1.-2 2.D[解析].反比例函数的k=一9<0， ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象 限内y随x的增大而增大. ·点A(-3,y1)在第二象限， y1>0..1<3,y2<y3<0, y2<y3<y1.故选D. 434 一题解点A(-3,y1),B(1,y2),C(3,y3)都 在反比例函数y=-9的图象上， ∴.y1=3,y2=-9,y3=-3. .-9<-3<3,.y2<y3<y1. 8D[解析]：点A在反比例函数y=一的图象 1 上，SaM0=2X6=3. ,S△A0D=2, .S△0D=S△AB0-SAA0D=3-2=1. 点D在L2上， .|k|=2SA0D二2： >利用值的几何意义 反比例函数图象在第二象限， ∴.k=一2.故选D. 4.A[解析]当U一定时，电压U、电流I、电阻R三 者之间的关系式为1一只，1与R成反比例函数关 系，但R不能小于0，所以选项A不可能，选项B 可能； 当R一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的 关系式为U=R,I和U成正比例函数关系，所以 选项C,D均有可能.故选A 5.A[解析].开机加热时水温每分钟上升10℃， .水温从30℃加热到100℃，所需时间为 100-30 10 =7(min),故A选项符合题意； 由题可得，(7,100)在反比例函数图象上， 设反比例函数表达式为y一是。 代入点(7,100)，得=700， 水温下降过程中，y与x的函数表达式是y= 70 ,故D选项不符合题意； 当y=10时，则10-70解得x=7, 当)=30时则30=79，解得x-9, Γ3 即水温从100℃降至30℃， 所需时间为7号(m, 故C选项不符合题意； ，44 令y=30,则30-70，解得x-20 x 3 70 ∴水温不低于30℃的时间为3min, 故B选项不符合题意.故选A. 举反白 1.(1)设当1≤x≤4时，y与x的函数表达式为y= 把点(1,180)代入，得180=冬，∴k=180, 当1<x≤4时，y与x的函数表达式为y=180, 当x=4时y10=4板 故当1区≤4时，y与x的函数表达式为y=180, 该种水果4月份的销售额为45万元. (2)设当x>4时，y与x的函数表达式为y= k1x十b, 把点(4,45)和(5,60)代入， 14k十b=45,.k1=15, 得51十6=60，“b=15, ∴.当x>4时，y与x的函数表达式为y=15x-15. 当1≤≤4时，令y=90,则90=180，解得=2， ∴.2月、3月和4月的销售额不超过90万元； 当x>4时，令y=90,则90=15x-15,解得x=7, ∴.5月、6月和7月的销售额不超过90万元， .该村水果有6个月的月销售额不超过90万元. 阳纳总结本题考查反比例函数的应用、一次函 数的应用，利用数形结合的思想是解答本题的 关键， 2.(1)设p与S的函数表达式为p=S(F为常数，且 F≠0)，将S=3,p=50000代入p=5 得2=50000，獬得F=150000, 六p与S的函数表达式为p-150.000 S (2)根据题意，得160,00≤4000，解得S≥号。 S ∴准工过程中受力面积应不小于m.第2章 反比例函数 知识梳理导图 一般地，形如y=飞(k为常数，≠0)的函数 当k>0时，函数图象分别位于第一 叫作反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数， 三象限，在每一个象限内，y随x的 定 增大而减小 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数 义 当k<0时，函数图象分别位于第二、 y=是(6为常数，k≠0) 概 性 一般形式 念 质 四象限，在每一个象限内，y随x的 y=ka",xy=k 表示形式 反比例 增大而增大 (k为常数，≠0)。其他形式 函数 与一次函数综合应用 图 应 与物理等其他学科综合应用 反比例函数的图象是双曲线 象 用 实际生活中的应用 重难疑点解法 上分点个反比例函数的图象与性质 例①(2025·浙江宁波江北区期末)已知反比例函 数y一兰，下列结论正确的是( A.图象必经过，点(2,1) B.图象在第二、四象限内 C.y随x的增大而增大 D.若x>1,则y>2 名师启发由反比例函数的关系式，可以判断出 点(2,1)在函数的图象上；图象位于第一、三象限；在 D 每个象限内，y随x的增大而减小；若x>1,则0< 名师启发分别根据反比例函数及一次函数图 y<2,进而作出判断，得到答案。 象的性质，判断它们在同一平面直角坐标系内的图象 关键提醒 的可能情况 本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的 济方法技巧 关键是要明确反比例函数的增减性需在不同的象 此类题目可以直接根据各选项中的两个图象 限说明 分别判断出k的正负，没有矛盾的选项即为正确 的选项 反比例函数与其他函数图象的 分上分点2 共存 分上分点3反比例函数中k的几何意义 例2(2025·青岛模拟)一次函数y=kx十2十1 例32025·埃化中考)如图，反比例函数y=是 与反比例函数y=一在同一平面直角坐标系中的 经过A,C两点，过点A作AB⊥y轴于点B,过点C 图象可能是( 作CD⊥x轴于点D,连接OA,OC,AC.若S△Ao= 7 实验班提优训练数学九年级上JSK) 4,CD:OB=1·3,则k的值是(). 直线！平移后的图象对应的函数表达式，从而求出直 线1向上平移的距离 A.-12 B.-9 C.-6 D.-3 名师启发延长DC,BA交于点E,设CD=a (a>0),则OB=3a,求出OD=- AB=进 a 而得到SAc=S△wos=一2，证明四边形OBED是 矩形，再求出AE=一，CE=2a,得到Sar= 2k 2,根据SDSAC一SAa0g-SA4r-SAM@ 建立方程求解即可. 关键提醒 本题考查了反比例函数的几何意义，根据 线段间的关系利用三角形面积找出关于的方程 是解题的关键， 个关键提醒 上分点4反比例函数与一次函数的综合 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问 例4(2025·江西中考)如图，直线1：y= 题、图形的平移与反比例函数图象的对称性，准确 2 +m与反比例函数y=(≠0)的图象交于点 运用函数的性质和相关知识是解题的关键 2 A(6,2). 上分点5实际问题与反比例函数 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； 例5(2026·四川成都成华区期末)在功W(焦耳) (2)将直线1向上平移，在x轴上方与反比例函 定的条件下，功率P(瓦特)与做功时间t(秒)是反 数图象交于点C,连接OA,OC,当∠1=∠2时，求点 比例函数关系.已知当t=20秒时，P=60瓦特，则功 C的坐标及直线1平移的距离. 率P与做功时间t之间的函数表达式为 名师启发根据题意设出反比例函数表达式， 将t=20,P=60代入即可求出函数表达式， 妙归纳总结 本题考查反比例函数在物理中的应用，熟练掌 握相关知识点是解题的关键 名师启发(1)将点A(6,2)分别代入一次函数 例6(2025·南京二十九中月考)实践活动：确定 和反比例函数表达式求解即可； LED台灯内滑动变阻器的电阻范围. (2)根据∠1=∠2以及反比例函数的图象的对 素材1：图(1)为某厂家设计的一款亮度可调的 称性可求出点C的坐标，进而利用待定系数法可求出 LED台灯.图(2)为对应的电路图，电源两端的电压保 8 第2章 持不变，通过改变滑动变阻器的电阻R2来调节亮度，R,十R2求出R2的取值范围即可. 电流I与总电阻R成反比例，其中R=R1十R2,已知 R1=52,实验测得当R2=10时，I=0.6A 素材2：图(3)是该台灯电流和光照强度的关系 研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在300~7501ux 之间（包含临界值）. 任务1：求I关于R的函数表达式， 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定R2 的取值范围。 4光照强度ux 750--- 300- 型归纳总结 00.10.25电流/A (1) (2) (3) 利用反比例函数解决实际问题： 名师启发任务1：利用待定系数法解答即可； ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比 任务2：根据图(3)，得到光照强度适宜人眼阅读 例函数的数学模型.②注意在自变量和函数值的取 的电流的取值范围，将R表示为I的函数，根据反比 值上的实际意义.③问题中出现的不等关系转化成 例函数的增减性求出R的取值范围，从而由R= 相等的关系来解，然后在作答中说明， 易错易混辨析 )易错点1 忽略反比例函数的比例系数不 B(m+1,y)都在反比例函数y=一2的图象上，则 3 为零 例①(2026·宁夏银川外国语实验学校期末)若y= 下列结论一定正确的是( (a一1)x2-2是反比例函数，则a的值为 A.y1>y2 解析 y=(a一1)x2-2是反比例函数， B.y<y2 /a2-2-1, C.当m<0时，y1<y2 解得a=-1. D.当m<-1时，y1<y2 a-1≠0， 解析，反比例函数常量=一3<0，.反比例 答亲一1 函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内y随x 辨析归纳 的增大而增大.A.若两点在同一分支上，m<m十1， 反比例函数的形式为y=(k为常教，k≠0) 故y1<y2,原说法错误，不符合题意；B.若两点不在 同一分支上，m<m十1，故y1>y2,原说法错误，不符 或y=kx-1(k为常数，k≠0)，一定要注意k≠0这 合题意；C.当m<0时，无法确定B(m十1，y2)所在 个条件 象限，原说法错误，不符合题意；D.当m<一1时，两 点都在第二象限，y1<y2,原说法正确，符合题意。 巩固特训 答案D 1.已知函数y=(m一2)xm-3是反比例函数， 舞析伯纳 则m= 解此类题目时，要先分析的符号，确定函数 )易错点2探究函数的增减性时不分象限 图象所在的位置，再分析各点所在的象限，对于同 例2(2025·内蒙古中考)已知点A(m,y1), 一个象限内可利用反比例函数的增减性比较， 9 实验班提优训练数学九年级上JSK) 过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B, 巩固特训 2.(2025·天津中考)若点A(-3,y1),B(1,y2),C(3, C,AB与l2交于点D,若△AOD的面积为2，则 飞的值为( ) y3)都在反比例函数y=一 的图象上，则y2 A.4 B.-4 y3的大小关系是( ). C.2 D.-2 A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 )易错点4 解决实际问题时忽略自变量的 C.y1<y3<y2 D.y2<y3<y1 取值范围 )易错点3」 利用的几何意义求k的值时， 不考虑函数图象所在的象限 例4(2026·安徽毫州期中)在封闭的电路中，当 例3(2025·广州大学附中三模)如图，点P是反 电压一定时，电流I(A)与电阻R(2)之间成反比例关 比例函数y-冬质0,2<0图象上一点，过点P作 系，满足关系式1只(R>0),已知在一封问电路中， PA⊥y轴于点A,点B是点A关于x轴的对称点， 当电压U=10V时，回答下列问题： (1)直接写出电路中的电流I(A)与电阻R(2)之 连接PB,若△PAB的面积为18，则k的值为 间的函数表达式； (). (2)画出该函数的大致图象 A.18B.36 C.-18 D.-36 解析连接OP.,点B是点A关于x轴的对称 解析 (1)根据反比例函数的定义即可解决问题. 点，OA=OB,SAM0P=SAoB三2SAP出 (2)列表、描点、连线，画出函数图象即可. △PAB的面积为18，.S△4op=9,∴.|k|=18. U ,反比例函数的图象在第二象限，.=一18. 答案1)：1-是R>0),U=10V, 答亲C 10 I=R(R>0). 辨析归纳----- (2)列表如下： 过双曲线上任意一，点向x轴或y轴作垂线， 这一，点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面 R … 2 3 4 积是 10 .确定k的值时，需根据图象所在的象限 … 5 2 .s 2 3 而定 描点、连线，图象如图. 见固特训 3.双曲线1：y=-6和1： y=(k≠0)的图象如图所 示，点A是1上一点，分别 B 0 (第3题) 10 第2章 辨析伯纳 5. (2025·甘肃兰州榆中期末)学校的自动饮水机，开机 在确定或画反比例函数图象时，除根据飞的符 加热时水温每分钟上升10℃，加热到100℃时，停 号确定函数所在的位置外，还要考虑自变量的取值 止加热，水温开始下降.此时水温y(℃)与通电时 范围，特别是关于实际问题的函数图象，它们一般 间x(min)成反比例，当水温降至30℃时，饮水机 是整个图象的一部分 再自动加热.若水温在30℃时接通电源，水温y 巩固特训 与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法 4.已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为U= 正确的是( . R(或者1日)，实际生活中，由于给定的已知量不 ↑yr/℃ 100 同，因此会有不同可能的图象，但图象不可能是( 30 0 x/min (第5题) A.水温从30℃加热到100℃时，需要7min B.水温不低于30℃的时间为25min C.水温从100℃降至30℃，所需时间为15min D.水温下降过程中，y与x的函数表达式是y= 400 素养考向提分 新情境 (1)求地面所受压强p(Pa)关于接触面积S(m2) 的函数表达式（不写自变量的取值范围）； 例①(2026·上海闵行区期末)人工智能已经逐渐 (2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米 融人我们的生活.某餐厅为了跟上时代的步伐，购买 解答(1)设地面所受压强p(Pa)关于接触面 了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是 可以调整的.在水平地面上，当机器人对地面的压力 积S(m2)的函数表达式为p= .将(4×104,1.2× F 一定时，地面所受压强与接触面积之间存在反比例函 102)代入力=5，得F=4X10X1.2×102=4.8× 数关系（数据如表一所示）.餐厅的地面由玻璃、木地 10,.地面所受压强p(Pa)关于接触面积S(m)的 板和大理石三种材质拼接而成.地面材质与地面承受 的最大压强的关系如表二所示。 函数表达式为力=48×10 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 (2)把b=2.5X10代人力=4.8X102 ,得S= 地面所受 4× 6× 8× 1× 压强p(Pa) 104 104 104 105 1.92×106,故该机器人与地面的接触面积至少为 接触面积 1.2× 8× 6× 4.8× 1.92×106平方米. S(m2) 10-2 10-3 10-3 10-3 ⊙点拨 本题以机器人为背景主要考查以物理知 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 识为情境的反比例函数应用的相关知识，知道 地面材质 玻璃 木地板 大理石 物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关 承受的最 4.8×10 2.4×10 2.5×108 系是解题的关键.计算时需要仔细 大压强p(Pa) 11 实验班提优训练数学九年级上SKJ 举反白 (1)求密度ρ关于体积V的函数表达式； 1.为了更好地助推乡村振兴，今年水果上市期间，某 (2)当3≤p≤6时，求V的取值范围. 单位驻村工作队立足本地特色，依托“电商十直 解答(1)设密度ρ关于体积V的反比例函数表 播十供销大集”等销售模式，在打通为农服务“最 达式为0=名≠0)，将点P(5,2)代人表达式，得 后一公里”上主动作为，在村里成立村级供销合作 社，以“互联网十电商”助农模式，帮助果农进行销 2= 5,解得k=10. 售，该村水果月销售额y(万元)与月份x之间的 故密度p关于体积V的反比例函数表达式为ρ= 变化如图所示，在成立村级供销合作社前是反比 10 例函数图象的一部分，成立村级供销合作社后是 (k≠0). 一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下 列问题： 2》当p=3时，V-号，当p=6时，V= 3, (1)当1≤x≤4时，求y与x的函数表达式，并求 当p6时，号V≤号 出该种水果4月份的销售额， (2)该村水果有多少个月的月销售额不超过90万元？ %点拨 本题以物理学中的气体密度为背景考查 180 反比例函数的跨学科应用，熟练利用待定系数 法求得反比例函数表达式是解题的关键 60 举反目 0 (第1题) 2.(2025·江苏泰州海陵区期末)推土机的轮子为何要安 装又宽又长的履带？通过物理学科的学习我们知 道，在压力不变的情况下，压强p(单位：Pa)是受 力面积S(单位：m)的反比例函数.已知某推土机 对地面压力恒定，当受力面积为3m时，压强为 50000Pa. (1)求p与S的函数表达式. (2)若某工地地面压强超过40000Pa时会发生塌 陷事故，为确保安全，施工过程中受力面积应不小 于多少？ 跨学科 例2(2026·浙江台州温岭期末)密闭容器内有一 定质量的一氧化碳，当容器体积V(单位：m3)变化时， 气体密度p(单位：kg/m3)随之变化.在一定范围内， 密度ρ是体积V的反比例函数，其图象如图所示 Ap/(kg/m) 5 4 3 2 P(5,2) 0123456787/m D12