初中奥数竞赛培优专题讲座：专题十 分类与讨论（PDF版）

+、分类与讨论 十、分类与讨论 [竞赛要点] 当所研究的问题包含有多种可能情况,并难以统一处理时,就需按所有可能出现的 各种情况进行分类与讨论,得出各种情况的相应结论,最后综合归纳出问题的正确答 案,这种方法称为分类法 [方法述要] 运用分类法讨论解题的关键是正确、恰当地进行分类首先要明确分类的对象和分 类的标准要特别注意两点:(1)分类做到不重不漏;(2)同一次分类只能按一个标准进 行研究某些问题时,可能还需逐级分类下面结合具体问题介绍分类法在解题中的应初 用 [赛题精析] 不同的取法? 设x<y,由x+y<100得x<50 中数学竞赛培优教程专题讲座 例1从1,2,3,…,9共99个数中选取两个数相加使其和小于100,间有多少种|培 解设选取的两个数为x,y,以x的取值为标准,分类计数为了使计数不重复,程 当x=1时,y可为2,3,4,…,98,共97种; 当x=2时,y可为3,4,s,…,97,共95种; 当x=3时,y可为4,5,6,…,96,共93种 当x=49时,y只能为50,共1种 于是,不同的取法有:1+3+5+…+97=2401种 例2平行线EF,MN与直线AB,CD相交,如图10-1所示,问图中共有多少对 同旁内角? 解同旁内角是由“两直线被第三条直线所截”而构成,以“截线”为分类标准进行 计数 (1)以EF为截线,截AB和CD,可得两对同旁内角同理,以MN为截线,截AB 和CD也得两对 6 +、分类与计论 2x+x=15, 12 解得x=5,y=7 所以AB=AC=10cm,BC=7cm 例5已知y=|2x+6|-4|x+1|+1x-1,求y的最大值 分析含绝对值符号的式子的化简以及解含绝对值符号的方程或不等式,其基本 思路是去绝对值符号,转化为不含绝对值符号的式子(方程或不等式)来求解.如果条件 不能确定绝对值符号内式子的正负,一般需要进行讨论 解分以下4种情况讨论: (1)当x≤-3时,原式化为y=-(2x+6)+4(x+1)-(x-1)=x-1. 故当x=-3时,y有最大值为-4 (2)当-3<x≤-1时,原式化为 y=(2x+6)+4(x+1)-(x-1)=5x+1 故当x=-1时,y有最大值为6; (3)当-1<x≤1时,原式化为y=(2x+6)-4(x+1)-(x-1)=3-3x 初 中 故y<3-3(-1)=6 数 (4)当x>