初中奥数竞赛培优专题讲座：专题十八 构造法（PDF版）

十八、构造法 十八、构造法 [竞赛要点] 当直接解决某一个数学问题有困难时,我们可以构造与此相关或有着某种对应关 系的另一种数学模型,利用所构造的数学模型的性质使问题得到解决,这种解题方法通 常称为构造法 [方法述要] 在解决一些数学问题时,根据解题需要和数学对象的对应与联系,构作一个数学图 形、方程、函数等等,以使问题得以形象地实现或者作为方程或函数性质的推论,从而使 初问题得到解决 中 数 学 [赛题精析] 竞 赛 例1若a,b,c均为大于0的实数,求证:√a2+b2+“s 培 优√b2+c2+√c2+a2=2(a+b+c) 教 程 证明构作以a+b+c为边长的正方形如图18-1,则对角 专线AC为2(a+b+c),AE=√a2+c2,EF=√a2+b2,FC 图18-1 题 讲 座 显然AE+EF+FC≥AC,原命题成立(当且仅当a=b=c时取“=”号) 说明利用勾股定理构造出正方形,给解决本题带来极大方便 例2已知x,y,z为正数,且xyz(x+y+z)=1,求表达式(x+y)(y+z)的最 小值 解构造一个面积为1的△ABC,如图18-2,其三边a,b,c .ty 满足{y+z=b ztr=c 令p=(a+b+c),则p=x+y+z B 由海伦公式,S△ABC=√p(p-a)(p-b)(p-c)= 图18-2 十八、构造法 √(x+y+z)xyz=1. 又由S△ABC=2xy)(y+z)sinC 于是,(x+y)(y+z)=ab=2C≥2 sin 故当∠C=90°,即x=x=1,y=√2-1时,(x+y)(y+z)取得最小值2 例3设x,y,z都是小于1的正实数,求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1 解构造函数f(x)=1-[x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)] =(y+z-1)x+(yz+1-y 由于0<y<1,0<z<1,故f(0)=yx+1-y-z=(1-y)(1-x)>0, f(1)=(y+z-1)+(yz+1-y-z)=yz>0, 由于一次函数f(x)的图像为一条直线,所以当0<x<1时,恒有f(x)>0成立, 故原不等式成立 例4已知a+b+c=a2+b2+c2=2,求证:a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2 分析仔细观察所求证的等式的形式特征,可构造函数y=x(1-x)2,这样只需 初 证当x分别取a,b,c时,