初中奥数竞赛培优专题讲座：专题十二 几何计数问题（PDF版）

十二、几可计数问逦 点中的两点为端点的线段有多少条? 分析本例中线段数量较多,若采用穷举法会很麻烦,也容易漏.因此可以考虑用 分类穷举法,按分类标准不同,有不同解法. 解法一设这198个点依次为P1,P2,…,P19,如图12-2所AA内A-AB 以A为始点的线段共有200-1=199条, 图122 以P1为始点的线段共有199-1=198条, 以P2为始点的线段共有197条, 以P19为始点的线段共有1条, 所以满足条件的线段有1+2+3+…+199=19900条 解法二线段上不含其他点的线段共有199条,线段上含有1个点的线段共有 198条,线段上含有2个点的线段共有197条,依此类推,满足条件的线段共有1+2+3 +…+199=19900条 初中数学竞赛 解法三因为两点确定一条线段,由组合知识可知:从200个点中选取2个点,共 200×199 =19900种选法,于是满足条件的线段共有19900条 例3如图12-3所示,点P为线段AB外的一点,线 培段AB上有198个点分别连结点P与线段AB上的所有 优点,问可组成多少个三角形? 教程 分析这些三角形都是以点P为其中一个顶点,另外 专两个顶点在线段AB上,因此线段AB上每一条线段可确 题定一个三角形,由例1的结论可知满足条件的三角形共有 讲 座19900个 图12-3 例4如图12-4所示,是一个由六个面积为1的正方 形组成的长方形,其中有A,B,C,D,E,F,G七个点.求以这七个点为顶点,并且面积 为1的三角形的个数 分析由于小正方体的面积为1,因此其边长为1,下面可以 计算枚举 解因为小正方形的面积为1,所以其边长为1,则 分别以DE,EF,FG,CG为底边的面积为1的三角形各有2个 共8个 图124 以AB为底边的面积为1的三角形有4个 分别以DE,EG为底边的面积为1的三角形各有1个,共2个 十二几何计数问题 所以所求三角形的个数为8+4+2=14(个) 例5如图12-5,D,E,F为等边三角形ABC的中点,AD,BE,CF交于N,DE EF,FD为三条中位线,求图中直角三角形的个数 分析因为AD⊥BC,AD⊥EF,所以先数出以M点、D点 为直角所在顶点的直角三角形个数 解因为AB=AC,BD=CD,AF=BF,AE=CE 所以EF∥BC,AD⊥BC 所以EF⊥AD 以M点为直角所在顶点的三角形有