初中奥数竞赛培优专题讲座：专题十九 几何中的平移变换（PDF版）

y十九、几何中的平移变换 十九、几何中的平移变换 [竞赛要点] 1.平移的定义 给定有向线段PQ(或向量PQ),其长度为a,把图形F上的所有点都沿有向线段 PQ的方向移动相同的距离a,移动后的点构成图形F,这样的由图形F到图形F的变 换叫做平移变换,简称平移,记作T(Q).如图19-1,△ABC经过平移后得到 △ABC′. 为了说理的方便,我们把图形F经过平移变换T(PQ)后得 P 到图形F'的过程记作 T(PQ) F′,简记为F (PQ) 点A在平移变换T(PQ)下的对应点A称为点A在该平移 变换下的像,同时A称为A的原像在图19-1中, 图19-1 T(PQ) T(PQ) T(PQ) 显然有A A B B, C T(PQ) 从而△ABC △ABC T(PQ) 般地,若F 则称F为F在平移变换T(PQ)下的像,F称为F的原 初中数学竞赛培优教程专题讲座 像 2.平移的性质 (1)在平移变换下,两点之间的距离不变,线段AB与它的像AB′平行且相等,即 ABBA构成平行四边形; (2)在平移变换下,两直线的夹角不变.∠AOB与它的像∠AO'B'的对应边平行 且方向相同; (3)在平移变换下,图形F与它的像F全等,即F≌F [方法述要] 平移变换的主要作用是:把分散的线段、角相对集中起来,从而使已知条件集中在 个我们所熟知的基本图形之中.这样一来,我们就可以利用平移后产生的新的图形的 性质对原图形进行研究,从而使问题得以转化 十九、几何中的平穆变换 [赛题精析] 例1如图192,“风车三角形”中,AA'=BB=CC=2,∠AOB′=∠BOC= ∠COA′=60°,求证面积不等式S△AOg+S△BC+S△cOA<√3 ① 分析题中涉及的三个三角形位置分散,若用代数方法,设AO=x>0,BO=y> 0,CO=z>0,则转化为证明代数不等式x(2-y)+y(2-z)+z(2-x)<4 Q B′ O 初中数 图19-2 图19-3 学没有降低间题的难度我们用平移,将分散的条件集中到关系明显的图形中(如图19 竞3),结论便昭然若揭 证明将△AOC沿AA方向平移|AA|长,得△AQR;将△BOC沿BB方向平 培优教程专题讲座 优移B1长得△BPR由于OP=OQ=2,∠POQ=60°,故PQ=2,但 QR+ RP=OC OC =2. 故P,R,Q三点共线,在正△POQ中,有 s△A