初中奥数竞赛培优专题讲座：专题十六 反证法（PDF版）

十六、反证法 十六、反证法 [竟赛要点] 有时从正面攻击敌方阵地不易奏效,可以设法迂回到敌人侧面或反面攻击,或许能 取得很好的效果 反证法就是一种迂回战术,是一种间接证明的方法.如果命题A不容易证明,我们 可以假设A的反面,即命题CA成立,然后设法导出矛盾,从而说明CA不成立,这就 证明了A一定成立,这就是反证法,也称为归谬法 反证法的依据是逻辑里的“排中律”,即命题A与CA两者必有一个成立 由于反证法多了一个条件“反证法的假设”,而只要导出一个矛盾(与已知条件矛 盾,与已知定理矛盾,自相矛盾等等都是矛盾)所以反证法往能过许多直接证明的 困难 [方法述要 反证法的证明步骤是 1.假设命题的结论不成立 从这个假设出发,结合题目条件及学过的定义、公理、定理,经过推理论证,得出 中数学竞赛培优教程.专题讲 3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确 反证法推出的矛盾的主要形式有:①与已知条件矛盾,②与已知的定义、定理公理幽 矛盾.③推出两个互相矛盾的结论 反证法一般适用于证明 1.结论是否定性的命题 2.结论是“惟一”类的命题; 3结论是“至多”、“至少”类命题 4.结论是“无穷多个”的命题 5.其他不易用直接证法的命题 赛 例1证明一平面内的一直线的垂线和斜线必相交 十女、反证法 已知:如图16-1,直线AB⊥直线于E,CD是l的斜线,F是 斜足,求证:AB与CD必相交 分析由于平面几何中没有提供两直线相交的定理,故考虑用 反证法 证明假设AB与CD不相交,则AB∥CD AB⊥l,∴CD⊥l ∠CFE=90°这与CD与l斜交矛盾 假设AB与CD不相交不成立.AB与CD必相交 例2证明一条直线与两条平行线中的一条相交也与另一条相交 已知:如图16-2,AB∥CD,直线EF与AB相交于P,求证:EF与CD相交 分析由于平面几何中没有提供两直线相交的定理,故考虑用反证法 证明一假设EF与CD不相交,则EF∥CD AB∥CD,EF∥AB 与已知条件EF与AB相交矛盾 假设EF与CD不相交不成立,∴EF与CD相交 证明二如图162假设EF与CD不相交 中数学竞赛培优教程专题 则EF∥CD.AB∥CD,AB与EF交于P 图162 过P点有两条直线AB,EF与CD都平行 这与平行公理:过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾 假设EF与CD不相交不成立 EF与CD相交 说明在