初中奥数竞赛培优专题讲座：专题十七 面积法（PDF版）

十七、面积法票 十七、面积法 竞赛要点] 所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数 学问题的一种方法有许多数学问题,虽然题目中没有直接涉及到面积,但由于面积是 联系着几何图形的重要元索,所以借助于有关面积的知识求解,常常简捷明快 烟[方法述要] 用面积法解题的基本思路是:对某一平面图形面积,采用不同方法或从不同角度去 计算,就可得到一个含边或角的关系式,化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结 中 图题精析 例1如图17-1所示,AD,AE分别是Rt△ABC中 培斜边BC上的高和∠A的平分线,已知AB=4,AC=3,求 优 敔AD和AE AB·AC=2S△ABC=BC·AD AD= 设AE的长为x S△ABC=S 而S△ABC=方AB·AC=6 saAm=1AB· AEsin∠BAE=2xsin45=√2x AC· AEsin∠CAE 解得x=7 +七、面权法 例2如图17-2,将△ABC的三边AB,BC,CA分别延长至B′,C′,A',且使BB AB,CC"=2BC,AA'=3AC.若S△ABC=1,求S△ABCc 分析连结B'C.则△BBC与△ABC等底同 高,S△CB=2S△BC.于是可求出S△BC.同理可 求出S△AAB,S△ACC,继而可求S△ABC 解连结B AB= BB S△BC=S△ABC=1 S△cCB=2S△BBC=2 S△BBC=S△BBC+S△OB=3. 同理可得S △ABC=S△BC+S△ACC+S△ABA+S△ABC=3+8+6+1=18 例3如图17-3,在△ABC中,AD,BE,CF相交于三角形内的一点G,若AG= 2GD,BG=2GE,求证:G为△ABC的重心 分析只需证明AD,BE,CF是△ABC的中线即可本题证法较多,用面积证男/9/ 是比较简单的一种证法 证明 AG=2GD S△ ABC AD 同理521E= ARGC 竞赛培优教程专题讲 为AB的中点 图173 同理D,E为BC,AC的中点故G为△ABC的重心 例4如图174,矩形ABCD中,E是BC上的点,FA 是CD上的点,已知S△ABE=S△ADF=3S矩形ABCD,求 的值 分析设BC=a,CD=b,则由条件,可求出EC及B CF继而可求出S△ECF及S△AEF的含a,b的代数式表示 图174 解设BC=a,CD=b,S矩形ABCD=S