初中奥数竞赛培优专题讲座：专题十五 三角形的五心（PDF版）

十五、三角形的五心 十五、三角形的“五心” [竞赛要点] 与三角形有关的重心外心、垂心、内心、旁心,这5个重要的点称为三角形的“五 重心是三角形的三条中线的交点,且各中线被这点分成比为2:1的两部分 外心是三角形三边的垂直平分线的交点,此点到三角形三个顶点的距离都相等,以 此点为圆心,到一顶点的距离为半径的圆经过三角形的三顶点(即是三角形的外接圆) 垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线(即三高线)的交点.三角形三 个顶点、三个垂足、垂心这7个点可以得到6个四点圆 初 中 内心是三角形的三条内角平分线的交点.此点到三角形三边的距离都相等.以此点 数为圆心且到三角形一边的距离为半径的圆分别与三角形的三边相切.三角形的面积等 学于内切圆半径与三角形周长的一半的积 赛 旁心是三角形的任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点,此点到 培 /优/三角形三边所在直线的距离都相等以此点为圆心且到三角形一边所在直线的距离为 教半径的圆分别切三角形一边及其余两边的延长线三角形有三个旁心 程 查(方法述要 题 讲 关于三角形“五心”问题包含两个基本内容,一是涉及到线共点,二是这“五心”的若 座干应用通过处理三角形“五心问题我们可以得到处理线共点问题的基本方法,以及 如何运用“五心”处理线段及角之间关系问题的基本思路 [赛题精析] 例1求证:三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于 点 证明(1)证明三角形三条中线相交于同一点 设D,E,F分别是△ABC边BC,CA,AB的中点,则有 BD CE AF BD CE AF DC EA FB BD CE FB 由塞瓦定理逆定理知AD,BE,CF三线共点 十五、三形的“五 2)证明三角形的三条内角平分线交于同一点 设D,E,F分别是△ABC的内角平分线AD,BE, CF与边BC,CA,AB的交点,则易知(如图15-1,过D 点作DC)=4:E“能,需能所∠ CE AF EA FB =1,从而知AD,BE,CF共点Ⅰ (3)证明三条高线相交于同一点H 图15 当△ABC为锐角三角形时,如图152,则有 BD=AB·cosB,CD=AC·cosC,CE=BC·cosC,AE=AB·cosA,AF=AC cosA,FB=BC·csB.于是有.CE.AD=1,从而知AD,BE,CF三线共点 图15-2 图15-3 当△