初中奥数竞赛培优专题讲座：专题四 数的绝对值（PDF版）

凹、数的绝对值求 四、数的绝对值 [竞赛要点] 定义一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点之间的距离,记作|a|. 对于任意的实数a,a和|a的关系可以从下式中看出 (a>0) C (a=0) -a(a<0) 心[方法述要] 性质1|a|≥0. 由绝对值的概念可知:|a|指的是数轴上表示a的点与原点之间的距离既然|a 初中数学竞赛培优教程专题讲座 代表的是一个长度,那么|a|表示的一定是一个非负数 性质2|x:yl=|x \ x (y≠0) 应用性质2,对于解决有关绝对值的计算问题有帮助例如: x|=|x:x…x|=|x|·|x|…|x|=(|x|)”. 性质3x|-|y|l≤x+y|≤|x|+|y lx|-1y||≤ ≤|x|+lyl 同学们可以在数轴上验证绝对值的性质3.要特别注意性质3中,什么情况下等号 成立.可以发现,当x,y同号或者x,y中有一个是0时,等式|x+y|=|x|+|y|, lxl-ly||=|x-y|成立;当x,y异号或者x,y中有一个是0时,等式x|-|y =|x+y,|x-y|=|x|+|y成立.这几个等式对化简带绝对值符号的式子很有帮 助,还常常用于解带绝对值符号的方程和不等式 [赛题精析 例1设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图4-1所示,化简 b-a|+|a+c|+|c-b 四数的绝对值 所以有4+F+1=-1 C cIa 例6求y=|2x+6|-4|x+1|+|x-1的最大值 解由零点讨论法求得y的分段表达式为 x≤-3 5x+11,-3≤x≤-1 3-3x,-1≤x≤1; 1-x,x≥1 1°当x≤-3时,y=x-1≤-4,ymax=y(-3)=-4 2当-3≤x≤-1时,y=5x+11≤6,ymx=y(-1)=6; 3当-1≤x≤1时,y=3-3x≤6,ymn=y(-1)=6; 4°当x≥1时,y=1-x≤0,ymx=y(1)=0 综上所述,ymnx=max{-4,6,6,0=6 例7已知21-1≥x-532x.求|x-11-1x+3的最大值和最小值 解先解不等式 去分母得2(2x-1)-6≥6x-3(5-3x) 化简得7≥11x, 所以x≤ lx-1-|x+3的几何意义是x到+1的距离减去x到-3的距离,当x≤ 时,从图4-3中立即看出这差是4(=1-(-3) 初中数学竞赛培优教程专题讲座 0 图4-3 而当x从左