初中奥数竞赛培优专题讲座：专题五 判别式与韦达定理的应用（PDF版）

五、剃别式与丰达定理的战用华 即4(1-a)k+(b-2a2+1)=0. 4(1-a)=0, 即 b-2a2+1=0 k2+4k+bk2+4k+1 于是另一个根是x2=k2+1 k2+1 去分母,整理得(x2-1)k2-4k+x2-1=0 由于k是任意实数,故必有△=16-4(x2-1)2≥0.即(x2-1)2≤4, 即-2≤x1-1≤2,即-1≤x2≤ 当x2= 1时,k=2( 当x2=3时,k 4 2(3-1 这说明,当k=-1时,x2取到最小值-1;当k=1时,x2取到最大值3 例4已知a,是方程2x2-7x+2=0的两根求作两根为a+,+的一元 初二次方程 中数学竞赛培优教程专题 解依题意有a+B=2,aR=1.设所求的方程为x2+x+q=0,则 [(a+h)+(+)]=- B) q=(a+b)(B+ 8++2=1+1+2=4 所以所求新方程为 7x+4=0 例5已知n为正整数,二次方程x2+(2n+1)x+n2=0的两根为an,Bn,求下 讲式的值: 座 a3+1)(B3+1)(a4+1)(4+1) a20+1)(B20+1) 解由韦达定理,有an+Bn=-(2n+1),anB=n2.于是,对正整数n≥3,有 (an+1)(An+1)anA+an+月n+1n2-(2n+1)+1 原式=1 )+…+ 1820 21920760 例6已知两数a,b,ab≠1,且2a2+1234567890·a+3=0,3b2+1234567890·b +2=0.求ab+62 的值 +ab+ b 乐五、剃别式与韦达史理的应用 解设1234567890=m,则有 2a2+ma+3=0, 3b2+mb+2=0 由②知b≠两边同除以6,得2(b)2+m:b+3=0 ①②③ 又由已知,a≠-,故由①,③知,a,是二次方程2x2+mx+3=0的两不等实根由韦 达定理有a·=,即a=b b)·b+b 原式= (b)2+(b)·b+b219 说明如果实数r与s满足ar2+b+c=0,as2+bs+c=0,那么r,s不一定是方 程ax2+bx+c=0的两个实根,r,s可能是同一个根.只有证明了r≠s时,上述结论 才是正确的.在这种情况下,才能使用韦达定理 初 例7已知p,q,r都是正数,求证:关于x的三个方程:x2-√px+=0,x2-中 数 0,x2-√F+8=0中至少有一个方程有两个不