2017-2018学年人教版高中数学必修二课件+高效演练:3.1 直线的倾斜角与斜率 （4份打包）

第三章　直线与方程 3．1　直线的倾斜角与斜率 3．1.1　倾斜角与斜率 [学习目标]　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念(重点)．　2.掌握求直线斜率的两种方法(重点、难点)．　3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素(难点)． [知识提炼·梳理] 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义：当直线l与x轴相交 时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫作直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°． 倾斜角 α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180° 直线 (2)倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是 0°≤α<180°. (3)倾斜角与直线形状的关系． 温馨提示　在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的倾斜角．二者缺一不可． 2．直线的斜率 (1)斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率．常用小写字线k表示，即k＝tan α．倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)．当x1＝x2 时，直线P1P2没有斜率． (3)斜率作用：用实数反映了平面直线坐标系内的直线的倾斜程度． 温馨提示　直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率，当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)． [思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.(　　) (2)直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α.(　　) (3)若直线的倾斜角为α，则sin α＞0.(　　) (4)任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α.(　　) 解析：对于(1)，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于(2)，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于(3)，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故(3)不正确；对于(4)，由斜率的定义及正切的定义域知正确． 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　) A.eq \f(\r(3),3)　　　 B.eq \r(3) C．1 D.eq \f(\r(2),2) 解析：由题意可知k＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3). 答案：A 3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1, 则m的值是(　　) A．5 B．8 C.eq \f(13,2) D．7 解析：由斜率公式可得eq \f(8－m,m－5)＝1，解之得m＝eq \f(13,2). 答案：C 4．直线l经过原点和(－1，1)，则它的倾斜角为________． 解析：kl＝eq \f(1－0,－1－0)＝－1，因此倾斜角为135°. 答案：135° 5．一条直线的斜率等于eq \f(\r(3),3)，则此直线的倾斜角等于______． 解析：设直线的倾斜角为α，由斜率的定义可得tan α＝eq \f(\r(3),3)，则α＝30°. 答案：30° 类型1　直线的倾斜角(自主研析) [典例1]　已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________． 解析：设直线l2的倾斜角为α2，由l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°， 所以α2＝120°＋α1＝135°. 答案：135° 归纳升华 1．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． 2．结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论． [变式训练]　一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为(　　) A．α　　　　　　　　　 B．180°－α C．180°－ α或90°－α D．90°＋α或90°－α 解析：如图，当l向上方向的部分y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角 为90°－α. 答案：D 类型2　直线的斜率及其应用 [典例2]　(1)若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为(　　) A.eq \r(3) B．－eq \r(3) C.eq \f(\r(3),3) D．－eq \f(\r(3),3) (2)求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角α. ①A(－2，