2017-2018学年人教版高中数学必修二课件+高效演练:4.2 直线、圆的位置关系 （4份打包）

第四章　圆与方程 4．2　直线、圆的位置关系 4．2.1　直线与圆的位置关系 [学习目标]　1.了解直线与圆的位置关系．　2.掌握直线与圆的位置关系的判定方法，能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系(重点)．　3.会求直线与圆相切、相交时圆或直线的方程，会求与圆有关的最值问题及对称问题(难点、易错点)． [知识提炼·梳理] 1．直线与圆的位置关系 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法 设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2)) d<r d＝r d>r 判定方法 代数法 由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 [思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　　) (2)若直线与圆相交，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解．(　　) (3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆联立消元后的一元二次方程无解．(　　) 解析：(1)直线与圆有公共点，也可能相切故(1)不正确． (2)直线与圆相交，则必有公共点，方程必有解，故(2)正确． (3)圆心到直线距离大于半径，则直线与圆相离，方程一定无解，故(3)正确． 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为(　　) A．0或2　　　 B．2 C.eq \r(2) D．不存在 解析：由圆心到直线的距离为半径得eq \f(|m|,\r(2))＝eq \r(m)， 所以m＝2. 答案：B 3．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 解析：由圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离为eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)<1知，直线与圆相交，但(0，0)不在直线y＝x＋1上． 答案：B 4．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________． 解析：设所求直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.由于直线kx－y＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))\s\up12(2))＝0， 即圆心位于直线kx－y＝0上，于是有k－2＝0，即k＝2，因此所求直线方程是2x－y＝0. 答案：2x－y＝0 5．垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是________________． 解析：由题意知直线方程可设为x＋y－c＝0(c＞0)，则圆心到直线的距离等于半径1，即 eq \f(|0＋0－c|,\r(12＋12))＝1，c＝eq \r(2)，所求方程为x＋y－eq \r(2)＝0. 答案：x＋y－eq \r(2)＝0 类型1　直线与圆位置关系的判断(自主研析) [典例1]　若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围． 解：法一　(代数法)由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－3y＋a＝0，,x2＋y2＝100，)) 消去y得25x2＋8ax＋a2－900＝0. Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000. ①当直线和圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90 000>0， －50<a<50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0，即a＝50或a＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ<0，即a<－50或a>50. 法二　(几何法)圆x2＋y2＝100的圆心为(0，0)，半径r＝10， 则圆心到直线的距离d＝eq \f(|a|,\r(32＋42))＝eq \f(|a|,5)， ①当直线和圆相交时，d<r，即eq \f(|a|,5)<10，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，d＝r，即eq \f(|a|,5)＝10，a＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，d>r, 即eq \f(|a|,5)>10，a<－50或a>50. 归纳升华 判断直线与圆位置关系的主要方法 1．几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． 2．代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． [变式训练]　点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝a2(a＞0)内不为圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关系