2017-2018学年高中新课标•数学A版•必修②（课件+课时作业）:4.1 圆的方程

【课标要求】　 1.了解圆的一般方程的特点，熟练掌握圆的两种方程的互化. 2.会根据已知条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题. 3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法． 自主学习　基础认识 |新知预习| 知识点一　圆的一般方程 1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，该方程叫作圆的一般方程． 2．圆的一般方程下的圆心和半径： 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq \f(\r(D2＋E2－4F),2). 知识点二　求动点的轨迹方程的方法 　求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x，y)所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的直角坐标系． 求轨迹方程的一般步骤为： [化解疑难] 1．求轨迹方程应注意的问题 (1)根据题目中的条件的不同，应选择建立适当的直角坐标系，使其有利于解题； (2)因为除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，所以证明时步骤可以不写，如果有特殊情况，可适当予以说明． 2．轨迹与轨迹方程的区别与联系 求动点的轨迹与轨迹方程不是一回事．求动点的轨迹往往是先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时由已知条件先判断出轨迹图形，然后由图形求方程．“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． |自我尝试| 1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析：化成标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13， 所以圆心为(2，－3)． 答案：D 2．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的条件是(　　) A.eq \f(1,4)<m<1 B．m>1 C．m<eq \f(1,4) D．m<eq \f(1,4)或m>1 解析：此方程表示圆的条件是D2＋E2－4F>0，即(4m)2＋(－2)2－4·5m>0，解得m<eq \f(1,4)或m>1. 答案：D 3．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，eq \r(3))，C(2，eq \r(3))，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　) A.eq \f(5,3) B.eq \f(\r(21),3) C.eq \f(2\r(5),3) D.eq \f(4,3) 解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋D＋F＝0，,3＋\r(3)E＋F＝0，,7＋2D＋\r(3)E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－\f(4\r(3),3)，,F＝1.)) ∴△ABC外接圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq \f(\r(21),3). 答案：B 4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的一般方程为________________． 解析：设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1.把(1,2)代入得12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以方程为x2＋(y－2)2＝1， 即x2＋y2－4y＋3＝0. 答案：x2＋y2－4y＋3＝0 课堂探究　 互动讲练 类型一 圆的一般方程的概念辨析 [例1]　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 【解析】　(1)据题意知 D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 即4m2＋4－4m2－20m>0， 解得m<eq \f(1,5)， 故m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))). (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝eq \r(1－5m). 方法归纳 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： ①由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是