4.1.2 圆的一般方程课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版必修2

4.1.2 圆的一般方程 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 指出下面圆的圆心和半径： (x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0) 特征： 直接看出圆心与半径 复习 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得 - 2 2 2 2 2 2 0 2 = - + + - + r b a by ax y x 由于a, b, r均为常数 结论：任何一个圆方程可以写成下面形式 动动手 1.是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示的曲线是圆呢？ 思考 2.下列方程表示什么图形？ （1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0； （3）x2+y2-2x+4y+6=0. 配方可得： 把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (1) 当D2+E2-4F>0时,表示以（ ） 为圆心，以( ) 为半径的圆. (2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2 y=-E/2，表示一个点（ ）. 动动脑 (3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所以不表示任何图形. 所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程 圆的一般方程： x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 圆的一般方程与标准方程的关系： (D2+E2-4F>0) （1）a=-D/2，b=-E/2，r= ②没有xy这样的二次项 （2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： ①x2与y2系数相同并且不等于0； 判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径 (1) x2+y2-2x+4y-4=0 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 (4) x2+y2-3xy+5x+2y=0 是 圆心（1，-2）半径3 是 圆心（3，-1）半径 不是 不是 练习 练习： 4 -6 -3 2或-2 举例 例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 几何方法 方法一： y x M1(1,1) M2(4,2) 0 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上 （4-a）2+（2-b）2=r2 ï ï ì í î （a）2+（b）2=r2 （1-a）2+（1-b）2=r2 解：设所求圆的标准方程为： （x-a）2+（y-b）2=r2 待定系数法 方法二： 所求圆的方程为： 即（x-4）2+（y+3）2=25 ï ï ì í î a=4 b=-3 r=5 解得 举例 例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 举例 例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 解：设所求圆的一般方程为： 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则 ï ï ì í î F=0 D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0 所求圆的方程为: x2+y2-8x+6y=0 即（x-4）2+（y+3）2=25 待定系数法 方法三： ï ï ì í î F=0 D=-8 E=6 解得 小结 (特殊情况时,可借助图象求解更简单) 注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式: ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. 例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. y A B M x o 即为线段AB的中点M的轨迹方程. 1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为 (用配方法求解) 3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? 2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联