2017-2018学年高中新课标•数学A版•必修②（课件+课时作业）:4.3 空间直角坐标系

【课标要求】　 1.理解空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标描出点的位置，会由点的位置写出点的坐标. 2.掌握空间两点间的距离公式，理解公式使用的条件，会用公式计算或证明． 自主学习　基础认识 知识点一　空间直角坐标系的建立及坐标表示 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：从空间某一定点O引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. ②相关概念：点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，z叫作点M的竖坐标． 知识点二　空间两点间的距离公式 1．空间中任意一点P(x，y，z)与原点之间的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2＋z2)； 2．空间中任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离 |P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12). [化解疑难] 1．要求坐标就必须建立空间直角坐标系． 2．同一个点在不同的坐标系中的坐标也不同． 3．识记一些特殊位置的点的坐标． 4．画空间直角坐标系的注意事项： (1)x轴与y轴成135°角，x轴与z轴成90°角； (2)y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度应相等，x轴上的单位长度则等于y轴的一半(xOy平面适用于斜二测画法)； (3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直． |自我尝试| 1．在空间直角坐标系中，下列各点中位于yOz平面内的是(　　) A．(3,2,1)　B．(2,0,0) C．(5,0,2) D．(0，－1，－3) 解析：位于yOz平面内的点，其x坐标为0，其余坐标任意，故(0，－1，－3)在yOz平面内． 答案：D 2．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的(　　) A．y轴上 B．xOy平面上 C．zOx平面上 D．第一象限内 解析：点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在zOx平面上． 答案：C 3．若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为(　　) A．4eq \r(3) B．2eq \r(3) C．4eq \r(2) D．3eq \r(2) 解析：|AB|＝eq \r(－3－12＋－3－12＋－3－12)＝4eq \r(3). 答案：A 4．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________． 解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)． 答案：(－4,1，－2) 课堂探究　 互动讲练 类型一 空间中点的坐标的确定 [例1]　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝3，|AB|＝5，|AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标． 【解析】　如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz. 因为长方体的棱长|AD|＝|BC|＝3， |DC|＝|AB|＝5， |DD1|＝|AA1|＝4， 显然D(0,0,0)，A在x轴上， 所以A(3,0,0)； C在y轴上，所以C(0,5,0)； D1在z轴上，所以D1(0,0,4)； B在xOy平面内，所以B(3,5,0)； A1在xOz平面内，所以A1(3,0,4)； C1在yOz平面内，所以C1(0,5,4)． 由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)， 所以B1的横坐标为3，纵坐标为5， 因为B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)， 所以B1的竖坐标为4，所以B1(3,5,4). 方法归纳 (1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上． (2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键． 跟踪训练 1　建立适当的空间直角坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标． 解析：以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图．