4.3空间直角坐标系 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版必修2

第三节 空间直角坐标系 【知识点梳理】 1、右手直角坐标系 ①右手直角坐标系的建立规则：轴、轴、轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指； ②已知点的坐标作点的方法与步骤（路径法）：沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，再沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，最后沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，即可作出点； ③已知点的位置求坐标的方法：过作三个平面分别与轴、轴、轴垂直于，点在轴、轴、轴的坐标分别是，则就是点的坐标． 2、在轴上的点分别可以表示为；在坐标平面，，内的点分别可以表示为． 3、点关于轴的对称点的坐标为； 点关于轴的对称点的坐标为； 点关于轴的对称点的坐标为； 点关于坐标平面的对称点为； 点关于坐标平面的对称点为； 点关于坐标平面的对称点为； 点关于原点的对称点． 4、已知空间两点，则线段的中点坐标为． 5、空间两点间的距离公式： 已知空间两点，则两点距离为，特殊地，点到原点的距离为． 6、以为球心，为半径的球面方程为，特殊地,以原点为球心，为半径的球面方程为． 【典型例题】 题型一、 认识空间直角坐标系 例题1：在空间直角坐标系中，表示 （ ） A．轴上的点 B．过轴的平面 C．垂直于轴的平面 D．平行于轴的直线 【解析】选C，表示所有在轴上的投影是点的点的集合，所以表示经过点且垂直于轴的平面． 【点评】类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系，要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题．如：经过点且垂直于轴的平面上的点都可表示为． 题型二、空间中点坐标公式与点的对称问题 例题2：点关于轴的对称点为，点关于平面的对称点为，则的坐标为 ． 【解析】因点和关于轴对称，所以点和的竖坐标相同，且在平面的射影关于原点对称，故点的坐标为，又因点和关于平面对称，所以点坐标为． 【点评】解决空间点的对称问题，一要借助空间想象，二要从它们在坐标平面的射影找关系，再类比平面直角坐标系中的对称关系． 变式1：平行四边形的两个顶点的的坐标为，对角线的交点为，则顶点C的坐标为 ，顶点D的坐标为 ． 【解析】由已知得线段的中点为，线段的中点也是，由中点坐标公式易得，． 题型三：利用空间两点间的距离公式解决有关问题 例题3：已知点A在y轴 ，点B(0，1，2)且，则点A的坐标为 ． 【解析】由题意设A(0，y，0)，则，解得：y = 0或y = 2，故点A的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)． 【点评】设点的坐标，根据空间两点间距离公式，待定系数求解． 题型四、综合运用 ( X A Y B O Z P )例题4：如图，已知点，对于轴正半轴上任意一点，在轴上是否存在一点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【解题思路】转化为距离问题，即证明． 【解析】设 ， 对于轴正半轴上任意一点，假设在轴上存在一点， 使得恒成立，则． ， 即，解得：． 所以存在这样的点，当点为时，恒成立． 【点评】类比平面直角坐标系中的勾股定理，在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题． 例题5：已知球面，与点，则球面上的点与点距离的最大值与最小值分别是 ． 【解析】球心，，球面上的点与点距离的最大值与最小值分别是9和3． 【点评】类比平面直角坐标系中，求圆外一定点到圆上动点距离的最大值和最小值方法． 【方法与技巧总结】 1、解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找关系,注意数形结合； 2、解决空间点的距离问题可以类比到平面直角坐标系． 【巩固练习】 1．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，给定点，若点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则＝（ ）A．2　　 B．4　 C．　 D． 3．已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则两点的最短距离是（ ）A． B． C．3 D． 4．在空间直角坐标系中, 点关于原点的对称点的坐标为 ． 5．已知点是点在平面上的射影，则线段的长等于 ． 6．点到轴的距离为 ． 7．如图，长方体OABC – D′A′B′C′中，OA = 3，OC = 4，OD′= 3，A′B与AB′相交于点P，分别写出点C、B′、P的坐标． 8．如图，正方体ABCD – A1B1C1D1，E、F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，求点E、F的坐标和B1关于原点D的对称点坐标． 9