4.3空间直角坐标系 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版必修2
第三节 空间直角坐标系
【知识点梳理】
1、右手直角坐标系
①右手直角坐标系的建立规则：
轴、
轴、
轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指；
②已知点的坐标
作点的方法与步骤（路径法）：沿轴正方向（
时）或负方向（
时）移动
个单位，再沿轴正方向（
时）或负方向（
时）移动
个单位，最后沿轴正方向（
时）或负方向（
时）移动
个单位，即可作出点；
③已知点的位置求坐标的方法：过
作三个平面分别与轴、轴、轴垂直于
，点在轴、轴、轴的坐标分别是
，则
就是点的坐标．
2、在轴上的点分别可以表示为
；在坐标平面
，
，
内的点分别可以表示为
．
3、点
关于轴的对称点的坐标为
；
点关于轴的对称点的坐标为
；
点关于轴的对称点的坐标为
；
点关于坐标平面的对称点为
；
点关于坐标平面的对称点为
；
点关于坐标平面的对称点为
；
点关于原点的对称点
．
4、已知空间两点
，则线段
的中点坐标为
．
5、空间两点间的距离公式：
已知空间两点，则两点距离为
，特殊地，点
到原点
的距离为
．
6、以
为球心，
为半径的球面方程为
，特殊地,以原点为球心，为半径的球面方程为
．
【典型例题】
题型一、 认识空间直角坐标系
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例题1：在空间直角坐标系中，
表示 （ ）
A．轴上的点 B．过轴的平面 C．垂直于轴的平面 D．平行于轴的直线
【解析】选C，表示所有在轴上的投影是点
的点的集合，所以表示经过点且垂直于轴的平面．
【点评】类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系，要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题．如：经过点
且垂直于轴的平面上的点都可表示为
．
题型二、空间中点坐标公式与点的对称问题
例题2：点
关于轴的对称点为
，点关于平面的对称点为
，则的坐标为 ．
【解析】因点和关于轴对称，所以点和的竖坐标相同，且在平面的射影关于原点对称，故点的坐标为，又因点和关于平面对称，所以点坐标为．
【点评】解决空间点的对称问题，一要借助空间想象，二要从它们在坐标平面的射影找关系，再类比平面直角坐标系中的对称关系．
变式1：平行四边形
的两个顶点的的坐标为
，对角线的交点为
，则顶点C的坐标为 ，顶点D的坐标为 ．
【解析】由已知得线段
的中点为
，线段
的中点也是，由中点坐标公式易得
，
．
题型三：利用空间两点间的距离公式解决有关问题
例题3：已知点A在y轴 ，点B(0，1，2)且
，则点A的坐标为 ．
【解析】由题意设A(0，y，0)，则
，解得：y = 0或y = 2，故点A的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)．
【点评】设点的坐标，根据空间两点间距离公式，待定系数求解．
题型四、综合运用
例题4：如图，已知点
，对于
轴正半轴上任意一点，在
轴上是否存在一点
，使得
恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
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【解题思路】转化为距离问题，即证明
．
【解析】设 
，
对于轴正半轴上任意一点，假设在轴上存在一点，
使得恒成立，则．
，
即
，解得：
．
所以存在这样的点，当点为
时，恒成立．
【点评】类比平面直角坐标系中的勾股定理，在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题．
例题5：已知球面
，与点
，则球面上的点与点
距离的最大值与最小值分别是 ．
【解析】球心
，
，球面上的点与点距离的最大值与最小值分别是9和3．
【点评】类比平面直角坐标系中，求圆外一定点到圆上动点距离的最大值和最小值方法．
【方法与技巧总结】
1、解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找关系,注意数形结合；
2、解决空间点的距离问题可以类比到平面直角坐标系．
【巩固练习】
1．在空间直角坐标系中，点
关于轴的对称点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在空间直角坐标系中，给定点
，若点与点关于
平面对称，点与点关于轴对称，则
＝（ ）A．2 B．4 C．
D．
3．已知空间直角坐标系
中有一点
，点是平面内的直线
上的动点，则
两点的最短距离是（ ）A．
B．
C．3 D．
4．在空间直角坐标系
中, 点
关于原点的对称点的坐标为 ．
5．已知点
是点
在平面上的射影，则线段的长等于 ．
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6．点到轴的距离为 ．
7．如图，长方体OABC – D′A′B′C′中，OA = 3，OC = 4，OD′= 3，A′B与AB′相交于点P，分别写出点C、B′、P的坐标．
8．如图，正方体ABCD – A1B1C1D1，E、F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，求点E、F的坐标和B1关于原点D的对称点坐标．
9．在yOz平面上求与三个已知点A(3，1，2)，B(4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标．
10．对于任意实数
，求
的最小值．
巩固练习答案
1．【答案】C 2．【答案】A
3．【答案】B，因为点B在
平面内的直线
上，故可设点B为
，
所以
，
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