2017-2018学年高中新课标•数学A版•必修②（章末提升+章末检测）第二章

知能整合提升 1.线线关系 空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种． 两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况． (1)证明线线平行的方法． ①线线平行的定义． ②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ③线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. ④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. ⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. (2)证明线线垂直的方法． ①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线． ②线面垂直的性质结论：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b. ③线面垂直的性质结论：a⊥α，b∥α⇒a⊥b. 2．线面关系 直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种． (1)证明直线与平面平行的方法． ①线面平行的定义． ②线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. ③面面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β. (2)证明直线与平面垂直的方法． ①线面垂直的定义． ②线面垂直的判定定理：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(m，n⊂α，m∩n＝A,l⊥m，l⊥n))⇒l⊥α. ③平行线垂直平面的传递性：a∥b，a⊥α⇒b⊥α. ④面面平行的性质结论：α∥β，a⊥α⇒a⊥β. ⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. 3．面面关系 两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种． (1)证明面面平行的方法． ①面面平行的定义． ②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒α∥β. ③线面垂直的性质结论：垂直于同一条直线的两个平面平行，即a⊥α，a⊥β⇒α∥β. ④公理4的推广：平行于同一平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ⇒α∥β. (2)证明面面垂直的方法． ①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角． ②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β. 4．平行关系与垂直关系的转化 解题时需把握原则：由已知想性质，由求证想判定．并注意适当添加辅助线(或辅助面)实现转化． 5．空间角的计算问题 (1)异面直线所成的角：通过作其中一条直线的平行线，转化为相交直线所成的角，范围是(0°，90°]． (2)直线与平面所成的角：依据线面垂直，确定斜线在平面上的射影，则斜线与射影所成的角即为所求，范围是[0°，90°]． (3)二面角：过两平面的交线上一点分别在两个平面内确定垂直于交线的直线，二者的夹角即为二面 角的平面角，范围是[0°，180°]． 空间角的计算步骤：一作、二证、三计算． 热点考点例析 专题一 公理的应用及空间中的位置关系 1.公理的应用 (1)证明共面问题．证明共面问题的方法一般有两种： 一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合． (2)证明三点共线问题．通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出其中两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是这两个平面的公共点，则第三个点必然在这两个平面的交线上． (3)证明三线共点问题．证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题． 2．空间中的点、线、面位置关系的判定 (1)首先清楚线线、线面、面面的位置关系及分类标准，其次在判定时不但要根据位置关系的定义，还要根据具体的题目条件与线线、线面、面面的判定及性质定理． (2)在判定点、线、面的位置关系时，要特别注意思维的严谨性，要注意线线、线面、面面判定及性质定理应用的前提条件． [例1]　 如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG：GC＝DH：HC＝1：2.求证： (1)E，F，G，H四点共面； (2)EG与HF的交点在直线AC上． 【解析】　(1)∵BG：GC＝DH：HC， ∴GH∥BD. 又EF∥BD，∴EF∥GH， ∴E，F，G，H四点共面． (2)∵G，H不是BC，CD的中点， ∴EF∥GH，且EF≠GH， ∴EG与FH必相交． 设交点为M，而EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD， ∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD， ∴M∈AC， 即GE与HF的交点在直线AC上． 能力挑战1　已知：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为8 cm，M，N，P分别是AB，A1D1，BB1的中点． (1)画出过M，N，P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线； (2)设过M，N，P三点的平面与B1C1交于一点，求P与该点连线段的长． 【解析】　(1)如图，设M，N，P三点确定的平面为α， 则α与平面AB1交于MP